第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

基本要求1. 掌握描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本物理量——位置矢量、位移、速度和加速度等概念及其主要性質(zhì)(矢量性、瞬時(shí)性和相對(duì)性)。2. 理解運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程的意義，能應(yīng)用直線運(yùn)動(dòng)方程和運(yùn)動(dòng)疊加原理求解簡單的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。(1) 已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度等物理量； (2) 已知速度或加速度及初始條件，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程； (3) 熟練掌握勻變速直線運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。3. 掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)中角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度等概念。4. 理解運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性。基本概念和基本規(guī)律1. 質(zhì)點(diǎn)在所研究的問題中，物體的大小和形狀可忽略不計(jì)時(shí)，我們把它看作只具有質(zhì)量而無大小、形狀的理想物體，稱為質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)是物理學(xué)中物體的理想模型。2. 位置矢量(或矢徑)r在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P的位置矢量(如圖1.2.1所示)表示為

r=xi yj zk

位置矢量的大小為

r=|r|=x2 y2 z2

位置矢量的方向用方向余弦表示為

cosα=xr，cosβ=yr，cosγ=zr

在二維運(yùn)動(dòng)中(如圖1.2.2所示)

r=xi yj

r=|r|=x2 y2

θ=arctanyx

式中θ是r與x軸正向間夾角。

圖1.2.1

圖1.2.2

3. 位移位移是描述質(zhì)點(diǎn)在t~t Δt時(shí)間內(nèi)位置矢量變化的物理量(如圖1.2.3所示)。質(zhì)點(diǎn)在Δt內(nèi)由P1到P2的位移等于同一時(shí)間內(nèi)位置矢量的增量Δr：

圖1.2.3

Δr=r2-r1=(x2-x1)i (y2-y1)j (z2-z1)k

位移的大小為

|Δr|=(x2-x1)2 (y2-y1)2 (z2-z1)2

位移的方向?yàn)?/p>

cosα=Δx|Δr|，cosβ=Δy|Δr|，cosγ=Δz|Δr|

注意： ①位移Δr與位置矢量r的物理意義不同，r與時(shí)刻t對(duì)應(yīng)，Δr與Δt對(duì)應(yīng)； ②|Δr|≠Δr=r2-r1，Δr=x22 y22 z22-x21 y21 z21； ③位移與參照系的選擇有關(guān)，具有相對(duì)性； ④直線運(yùn)動(dòng)中的位移Δx=x2-x1,Δx的正負(fù)表示位移的方向沿x軸的正向或負(fù)向。4. 速度速度是描述質(zhì)點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化快慢和方向的物理量。(1) 平均速度

?瘙經(jīng)-=ΔrΔt=ΔxΔti ΔyΔtj ΔzΔtk=v-xi v-yj v-zk

?瘙經(jīng)-稱為質(zhì)點(diǎn)在t~t Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度。(2) 瞬時(shí)速度

?瘙經(jīng)=drdt=dxdti dydtj dzdtk=vxi vyj vzk

?瘙經(jīng)稱為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度，簡稱速度。注意： ①v=|?瘙經(jīng)|=v2x v2y v2z=dxdt2 dydt2 dzdt2≠drdt； ②直線運(yùn)動(dòng)中v=dxdt，v的正負(fù)表示速度的方向沿x軸正向或負(fù)向。(3) 平均速率

v-=ΔsΔt

式中Δs是質(zhì)點(diǎn)在t~t Δt時(shí)間內(nèi)走過的路程，v-稱為質(zhì)點(diǎn)在t~t Δt時(shí)間內(nèi)的平均速率。(4) 瞬時(shí)速率

v=dsdt

v稱為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速率，簡稱速率。同一瞬間的瞬時(shí)速率和瞬時(shí)速度的大小是相同的。5. 加速度加速度是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度變化的物理量。(1) 平均加速度

a-=Δ?瘙經(jīng)Δt=ΔvxΔti ΔvyΔtj ΔvzΔtk

a-稱為質(zhì)點(diǎn)在t~t Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均加速度。(2) 瞬時(shí)加速度

a=d?瘙經(jīng)dt=dvxdti dvydtj dvzdtk=d2xdt2i d2ydt2j d2zdt2k=axi ayj azk

a稱為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，簡稱加速度。(3) 質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，亦可用自然坐標(biāo)系中的法向加速度和切向加速度表示： 法向加速度an=v2ρ，方向指向該處的曲率中心，式中v為質(zhì)點(diǎn)所在處的速率,ρ為質(zhì)點(diǎn)所在處的曲率半徑。切向加速度at=dvdt，正、負(fù)表示切向加速度的方向與該處速度方向“同”、“反”。總加速度

a=an at

注意： ①a的方向是速度變化的方向，即Δ?瘙經(jīng)的極限方向，一般不代表質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。②區(qū)分?瘙經(jīng)和a概念： ?瘙經(jīng)=0，|a|不一定為零； |?瘙經(jīng)|大，|a|不一定大。③曲線運(yùn)動(dòng)中an≠0； 直線運(yùn)動(dòng)中an=0，at=dvdt； 直線運(yùn)動(dòng)a的正、負(fù)表示加速度的方向沿選定軸的正向或負(fù)向。6. 圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述設(shè)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)，t Δt時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，如圖1.2.4所示。則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)亦可用下述角量描述。

圖1.2.4

θ為半徑OA與x軸間夾角，θA，θB分別是質(zhì)點(diǎn)在A，B兩點(diǎn)的角位置，則

Δθ=θB-θA

Δθ稱為質(zhì)點(diǎn)在t~t Δt內(nèi)對(duì)O點(diǎn)的角位移。令

ω=limΔt→0ΔθΔt=dθdt

ω稱為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻對(duì)O點(diǎn)的瞬時(shí)角速度(簡稱角速度)。令

α=limΔt→0ΔωΔt=dωdt

α稱為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻對(duì)O點(diǎn)的瞬時(shí)角加速度(簡稱角加速度)。

角量與線量間的關(guān)系：

v=Rω

an=v2R,at=dvdt=Rα

7. 運(yùn)動(dòng)方程r(t)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量r(t)(或角位置θ)隨時(shí)間的變化規(guī)律稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，可表示為

r(t)=x(t)i y(t)j z(t)k

或

θ=θ(t)

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程在直角坐標(biāo)系中亦可用分量式表示為

x=x(t)y=y(t)z=z(t)

運(yùn)動(dòng)方程反映了質(zhì)點(diǎn)的空間位置隨時(shí)間的變化過程。從運(yùn)動(dòng)方程的分量式中消去t，得到x、y、z間的關(guān)系式，稱為質(zhì)點(diǎn)的軌道方程。8. 運(yùn)動(dòng)疊加原理一個(gè)運(yùn)動(dòng)可看成幾個(gè)各自獨(dú)立進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)疊加而成，這稱為運(yùn)動(dòng)疊加原理或運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理。例如，拋體運(yùn)動(dòng)可看成水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的疊加。9. 幾種簡單的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(1) 直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律(假設(shè)運(yùn)動(dòng)發(fā)生在x軸上)勻速直線運(yùn)動(dòng)方程：

x=x0 vt

勻變速直線運(yùn)動(dòng)方程：

x=x0 v0t 12at2

變速直線運(yùn)動(dòng)方程：

x=x0 ∫t0vdt

v=v0 ∫t0adt

式中x0、v0分別是t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的初始位置、初始速度。(2) 圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述規(guī)律勻速圓周運(yùn)動(dòng)：

θ=θ0 ωt

an=Rω2,at=0

勻變速圓周運(yùn)動(dòng)：

θ=θ0 ω0t 12αt2

an=Rω2,at=dvdt=Rα

式中θ0、ω0分別是t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的初始角位置、初始角速度。(3) 拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律

圖1.2.5

拋體運(yùn)動(dòng)(如圖1.2.5所示)方程為

x=v0cosθ0t

y=h v0sinθ0t-12gt2

討論： θ0=0時(shí)為平拋運(yùn)動(dòng)； θ0=π2時(shí)為豎直上拋運(yùn)動(dòng)； θ0=-π2且v0=0，則為自由落體運(yùn)動(dòng)。10. 運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性由于位置矢量、速度和加速度的大小和方向都與參照系的選擇有關(guān)，具有相對(duì)性，因此同一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)對(duì)不同參照系的描述是不同的。設(shè)坐標(biāo)系Ox′y′z′相對(duì)于坐標(biāo)系Oxyz的平動(dòng)速度為u，則位移為Δr=Δr′ uΔt

速度為?瘙經(jīng)=?瘙經(jīng)′ u

或表示為

?瘙經(jīng)A對(duì)C=?瘙經(jīng)A對(duì)B ?瘙經(jīng)B對(duì)C

上式稱為速度變換原理或速度合成定理。加速度aA對(duì)C=aA對(duì)B aB對(duì)C

上式稱為加速度交換原理或加速度合成定理。解題指導(dǎo)本章的重點(diǎn)是深刻理解位置矢量、位移、速度和加速度等概念，注意其矢量性與相對(duì)性。本章習(xí)題一般分兩大類： 及時(shí)類是已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，利用微分法求各物理量(速度、加速度等)； 第二類是已知速度或加速度及初始條件，利用積分法求運(yùn)動(dòng)方程。第二類問題和學(xué)會(huì)用速度合成定理處理運(yùn)動(dòng)的矢量性和相對(duì)性問題是本章的難點(diǎn)。在直線運(yùn)動(dòng)中，位移、速度和加速度的方向均在一直線上，建立坐標(biāo)后，這些矢量可作為標(biāo)量來處理。位移Δx、速度v和加速度a的正負(fù)，表示其方向與選定坐標(biāo)軸的正向一致或相反。應(yīng)特別注意的是，中學(xué)階段定量研究的是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，加速度是常量。但大學(xué)物理中討論的是具有普遍意義的運(yùn)動(dòng)，加速度不一定是常量，必須用高等數(shù)學(xué)中的微積分解題。由中學(xué)的“常量”到大學(xué)的“變量”，這是學(xué)習(xí)的一個(gè)飛躍。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的一般解題程序?yàn)椋?(1) 審清題意，確定研究對(duì)象，分析研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)情況。(2) 選擇適當(dāng)?shù)膮⒄障担⒆鴺?biāo)系。(3) 根據(jù)所求物理量的定義，列式并求解。或根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和題設(shè)條件，列方程求解。(4) 必要時(shí)進(jìn)行分析討論。[例題1.1]有一物體作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=6t2-2t3，式中x的單位為m，t的單位為s。求： (1) 速度和加速度的表達(dá)式； (2) t=0,1,2,3,4s時(shí)物體的位置x、速度v和加速度a； (3) 第2s內(nèi)的平均速度； (4) 最初4s內(nèi)物體的位移、路程、平均速度和平均速率； (5) 討論物體的運(yùn)動(dòng)情況。[解](1) 物體的運(yùn)動(dòng)方程

x=6t2-2t3

速度

v=dxdt=12t-6t2(m/s)

加速度

a=dvdt=12-12t(m/s2)

(2) 將t的各值代入上述三式，可得各時(shí)刻的x、v和a，見表1.3.1：

表1.3.1

t/s01 2 3 4x/m0480-32v/(m/s)060-18-48a/(m/s2)120-12-24-36

(3) 第2s內(nèi)平均速度

v-1—2=x2-x1t2-t1=8-42-1=4(m/s)

但這不能用下式來計(jì)算：

v-1—2=v1 v22

為什么不行？請(qǐng)讀者自己思考。(4) 位移

Δx=x4-x0=-32-0=-32(m)

式中負(fù)號(hào)表示位移的方向沿x軸負(fù)向。路程Δs是否等于位移Δx?通常Δs≠Δx，只有在直線運(yùn)動(dòng)中速度不改變方向的那段時(shí)間內(nèi)，路程才與位移的大小相等。今由dxdt=12t-6t2=0得t=2s時(shí)開始速度改變方向，所以路程為

Δs=Δs1 Δs2=|x2-x0| |x4-x2|=|8-0| |-32-8|=48(m)

平均速度為

v-0—4=x4-x0t4-t0=-324=-8(m/s)

式中負(fù)號(hào)表示平均速度的方向沿x軸負(fù)向。平均速率為

v-0—4=ΔsΔt=484=12(m/s)

(5) 由v=12t-6t2，可見t0； t=2s，v=0； t>2s，v1s，a0，a>0，物體作加速運(yùn)動(dòng)； t在1~2s內(nèi)，v>0，a0，并不表示物體作加速運(yùn)動(dòng)； a

x=3t,y=t2 t

式中x、y以m計(jì)，t以s計(jì)。試求： (1) t=1s和2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量，并計(jì)算這1s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移和平均速度； (2) 2s末質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度； (3) 質(zhì)點(diǎn)的軌道方程。[解](1) 質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為

r=3ti (t2 t)jt=1s時(shí)，r1=3i (1 1)j=3i 2j(m)t=2s時(shí)，r2=6i 6j(m)根據(jù)位移的定義，這1s內(nèi)的位移為

Δr=r2-r1=(6-3)i (6-2)j=3i 4j(m)

或用位移的大小和方向表示為

|Δr|=(Δx)2 (Δy)2=(6-3)2 (6-2)2=5(m)

θ=arctanΔyΔx=arctan6-26-3=53°

式中θ是位移與x軸正向間夾角。根據(jù)平均速度的定義，這1s內(nèi)的平均速度為

?瘙經(jīng)-=ΔrΔt=3i 4j2-1=3i 4j(m/s)

(2) 根據(jù)速度的定義，可得速度的兩個(gè)分量vx和vy：

vx=dxdt=3(m/s)

vy=dydt=(2t 1)|t=2=2×2 1=5(m/s)

所以質(zhì)點(diǎn)在2s末的速度為

?瘙經(jīng)2=3i 5j(m/s)

或用?瘙經(jīng)2的大小和?瘙經(jīng)2與x軸正向間夾角來表示為

v2=v2x v2y=32 52=5.83(m/s)

θ=arctanvyvx=arctan53=59°

式中θ是速度?瘙經(jīng)2與x軸正向間夾角。根據(jù)加速度的定義，它的兩個(gè)分量ax、ay分別為

ax=dvxdt=0

ay=dvydt=2(m/s2)

所以

a=axi ayj=2j(m/s2)

即加速度的大小為a=2m/s2，方向沿y軸正向。由于加速度不隨時(shí)間變化，所以本題中質(zhì)點(diǎn)作勻加速運(yùn)動(dòng)。(3) 從質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程中消去t，即得軌道方程

y=x32 x3

即

x2 3x-9y=0

[例題1.3]一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)。已知加速度a=4t(SI),t=0時(shí)，初速度v0=0，初始位置x0=10m。試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。[解]根據(jù)加速度的定義a=dvdt，得

adt=4tdt=dv

對(duì)上式兩邊積分，得速度v隨時(shí)間t的變化規(guī)律

∫t04tdt=∫v0dv

積分后代入上下限得

v=2t2

又根據(jù)速度的定義v=dxdt得

dx=vdt=2t2dt

對(duì)上式兩邊積分后得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

∫xx0dx=∫t02t2dt

x=x0 23t3

將x0=10m代入上式得

x=10 23t2(m)

本題屬已知加速度及初始條件(即t=0時(shí)的x0、v0)求運(yùn)動(dòng)方程的問題，主要根據(jù)加速度和速度的定義，通過積分解決。需注意初始條件的運(yùn)用和定積分的計(jì)算方法。[例題1.4]一物體沿x軸運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)物體位于坐標(biāo)原點(diǎn)，初速度v0=3m/s。若加速度a=4x(SI)，求： (1) 物體經(jīng)過x=2m時(shí)的速度； (2) 物體的運(yùn)動(dòng)方程。[解](1) 本題中加速度隨x而變化，所以物體作變速直線運(yùn)動(dòng)。根據(jù)加速度和速度的定義 v=dxdt，a=dvdt，得

vdt=dx

adt=dv=adxv

所以

vdv=adx=4xdx

兩邊積分：

∫vv0vdv=∫xx04xdx

v2-v20=4(x2-x20)

將x0=0，v0=3m/s及x=2m代入上式得

v=v20 4x2=32 4×22=5(m/s)

(2) 再根據(jù)速度的定義得

dx=vdt=v20 4x2dt

所以

∫x0dxv20 4x2=∫t0dt

由積分公式∫dxa2 x2=ln(x a2 x2)，將上式積分，則有

12ln(2x v20 4x2)|x0=t

2x v20 4x2v0=e2t

化簡后得運(yùn)動(dòng)方程

x=v04(e2t-e-2t)=34(e2t-e-2t)(m)

圖1.3.1

需注意： 通常解題時(shí)應(yīng)先用文字式運(yùn)算，求得結(jié)果的文字表達(dá)式后，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，得出的結(jié)果。[例題1.5]如圖1.3.1所示，在離水面高度h的岸邊上，有人用繩子拉船靠岸。船位于離岸的水平距離s處。當(dāng)人以v0的勻速率收繩時(shí)，試求船的速度和加速度。[解]本題要求?瘙經(jīng)和a，但船的運(yùn)動(dòng)方程未知，因此須先根據(jù)已知條件，建立坐標(biāo)后寫出船的運(yùn)動(dòng)方程，然后根據(jù)定義求?瘙經(jīng)和a。以人的收繩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系如圖1.3.1所示，則船的位置矢量即運(yùn)動(dòng)方程為

r=xi-hj

式中h是常量，x隨時(shí)間而變。根據(jù)速度和加速度的定義得

?瘙經(jīng)=drdt=dxdti

a=d2rdt2=d2xdt2i

根據(jù)題意，人的收繩速率為

v0=-drdt=-ddtx2 h2=-xx2 h2dxdt

這里因r=|r|隨時(shí)間減小，所以drdt0。由上式得

vx=dxdt=-v0x2 h2x

所以船的速度為

?瘙經(jīng)=-v0x2 h2xi

而

ax=dvxdt=ddt-v0x2 h2x=ddx-v0x2 h2xdxdt=-h2v20x3

所以船的加速度為

a=-h2v20x3i

當(dāng)船在x=s處時(shí)，速度和加速度為

?瘙經(jīng)=-v0s2 h2si

a=-h2v20s3i

討論： (1) ?瘙經(jīng)和a的方向均沿x軸負(fù)向，所以船向岸邊作加速運(yùn)動(dòng)。(2) 由a的表達(dá)式，h和v0不變，s隨時(shí)間減小，|a|隨時(shí)間增大，所以船作變加速運(yùn)動(dòng)。(3) 船的速率v>v0(人的收繩速率)，這是嚴(yán)格按速度的定義求得的，直觀上，顯然v不等于v0。

圖1.3.2

[例題1.6]一石子從傾角為α=30°的斜面上的O點(diǎn)拋出。已知初速度v0=9.8m/s，?瘙經(jīng)0與水平面的夾角θ=30°，如圖1.3.2所示。若忽略空氣阻力，試求： (1) 石子落到斜面上的B點(diǎn)離O點(diǎn)的距離l； (2) 石子所到達(dá)的較大高度； (3) t=1.5s時(shí)石子的速度、切向加速度和法向加速度。[解](1) 石子的運(yùn)動(dòng)可看作水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的加速度為g的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的疊加。今以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)如圖，則石子的加速度分量為