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數學勾股定理論文:數學史在勾股定理一章中的比較分析
摘要：對人教版和北師大版數學教材中“勾股定理”一章數學史編排模式的比較發現：兩版本教材在數學史的設計上各具特色，都力求以多種方式呈現數學史，北師大版比人教版更加注重學生的實踐操作能力和交流能力的培養，人教版更關注學生的情感；反思發現兩版本教材在數學史融入教學中的弱點：數學史的運用過于淺顯、缺乏與信息技術的整合。
關鍵詞：數學史；勾股定理；教材比較
一、引言
數學史與數學課程的整合已成為當今數學教育界的一個熱點話題。張奠宙先生指出：在數學教育中，特別是中學的數學教學過程中，運用數學史知識是進行素質教育的重要方面。《全日制義務教育數學課程標準（2011版）》明確提出，“數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中，教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用，以及數學發展史的有關材料”。數學是積累的科學，“它的發展并不合邏輯，數學發展的實際情況與我們學校里的教科書很不一致”。根據歷史發生原理，學生對數學的理解與數學本身的發展有很大的相似性。一套好的教材若要返璞歸真地反映知識的來龍去脈、思想方法的深刻、內涵以及科學文化的進步，就必須融入一些簡略的數學史以啟發思維、開闊視野、激發興趣。這就使得在教材的編寫與修訂過程中，合理設計數學史內容及其編排方式顯得尤為重要。基于以上認識，本文僅對人民教育出版社和北京師范大學出版社初中數學教材（以下簡稱“人教版”、“北師大版”）中勾股定理一章的數學史進行比較分析。
二、調查與分析
首先對人教版《義務教育課程標準實驗教科書?搖數學（八年級下冊）》和北師大版《義務教育課程標準實驗教科書?搖數學（八年級上冊）》勾股定理一章中的數學史進行了統計，具體見下表1。
從表1可以看出，在勾股定理這一章中兩版本教材都呈現了大量史料，但在數學史的呈現方式和選材上，又各有側重點。據表1，兩版本教材在本章各出現數學史11處、13處，主要分布在正文、習題、專題和閱讀材料中。（人教版以“閱讀與思考”呈現數學史料，北師大版以“讀一讀”這一欄目呈現史料，為統一起見，統稱閱讀材料；這里的“專題”多是指在相關知識旁邊以框架的形式對某些內容作簡要介紹。）此外，北師大版及時節（探索勾股定理）和第三節（螞蟻這樣走最近）的引入是在歷史名題“折竹抵地”和“蜘蛛與蒼蠅”問題的基礎上改編的，雖然表面文字上看不出歷史的影子，但是我們在統計時仍把這兩處歸為數學史料。
三、章前內容和數學家的設計
人教版在章前圖文并茂，不僅呈現了2002年北京國際數學家大會的會標“趙爽弦圖”，還簡要解釋了勾、股、弦所表示的含義，并在此基礎上提出了兩個問題，進而交待了這一章所要學習的主要內容。這樣的設計不僅激起了學生的求知欲、好奇心，還能讓學生在學習新知識之前對本章要干啥有一個大概的了解，同時也便于學生在學習完這章后的自我評估。比起北師大版在章前簡單列出各文明古國關于勾股定理說法的設計更為人性化。
兩版本教材在介紹數學家時，都是簡要的說明數學家的生平（如國籍、年代、出生地等）及做出的貢獻，并沒有體現數學家遭遇的困惑、挫折、失敗的經歷。使學生覺得數學家所想到的定理是理所當然的，未能體現數學家在創作過程中斗爭、挫折以及數學家所經歷的艱難漫長的道路。相比北師大版，人教版在此有一個特色，也是人教版整套教材的特色，即在介紹數學家時附有數學家的頭像（本章附有畢達哥拉斯圖像），這樣能喚起學生對數學家及數學史的親近、肅穆之感。而北師大版在這方面就稍顯遜色，根據劉超的統計，在初中六本教材中人教版有五處附有數學家圖像，而北師大版僅有一處（并不是此章）。
四、對兩版本教材的思考
人教版在勾股定理及其逆定理的開始分別以數學家的故事和古埃及人得到直角的方法引入數學知識，而北師大版在及時、三節都是以實際問題情境引入數學內容的，但這兩處的情境都來源于數學歷史名題。兩版本在此對數學史用的都比較淺顯，沒有深挖史料背后隱藏的數學思想方法，數學史只是作為一個情景用來引出相關內容的。這只是數學史融入教學的初級階段，但我們并不能說這種融入方式是低級的或是不好
。一方面，初級階段是數學史融入教學，進入高級階段不可逾越的階段，具有重要意義，比如激發學習興趣、調動積極性；另一方面，教材的這種設計也體現了教材的靈活性和多樣性，便于教師對內容的重新加工。因此，對這兩種引入方式我們不可妄加斷言其好壞，唯獨希望各相關領域人員對數學思想、方法做認真的思考，對數學史料進行加工和創造，深挖史料背后隱含的價值，充分發揮數學史的作用和價值。
現代信息技術的發展使得計算機已經成為數學文化與數學教育現代化之間的橋梁。兩版本教材除了讓學生自己上網搜索相關內容外，并沒有涉及與信息技術有關的內容。“勾股定理”作為幾乎是全世界中學都要介紹的定理，其證明方法就有400多種，這些證法反映了東西方不同的文化。這應引起兩版本教材編寫者的重視，以便在教材修訂時注重相關數學史與信息技術的整合。
數學勾股定理論文:勾股定理初中數學論文
1引言
勾股定理是初中數學中非常重要的一個定理[1]。它很好地解釋了直角三角形中三條邊之間的數量關系，對于幾何學當中有關直角三角形的計算機證明問題，利用勾股定理往往能夠迎刃而解，使學生快速掌握解決方法。同時，在日常生活及工作當中，勾股定理的應用也非常廣泛。因此，在初中數學教學過程中，充分利用好勾股定理這一有效手段進行解題顯得尤為重要。筆者結合多年的教學經驗，利用勾股定理，對初中數學當中的“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實際問題”進行了分析與探究，希望以此能夠為初中數學教學提供有效依據。
2勾股定理在線段問題中的應用
在初中數學中，一些“線段求長”問題使用常規方面解決常表現的較為棘手，而使用勾股定理往往能夠得以有效解決。例題1：如圖1，在三角形ABC中，已知：∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的三個頂點分別位于相互平行的三條直接l1、l2、l3上，并且l1與l2之間的距離為2，l2,與l3之間的距離為3，求AC的長度。解：過A作l3的垂線交l3于D，過C作l3的垂線交l3于E，由已知條件：∠ABC＝90°，AB＝BC，得：RtABD與RtBEC全等；所以，AD＝BE＝3，DB＝CE＝5；進而得：AB2＝BC2＝32＋52＝9＋25＝34；在直角三角形ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝68，所以：AC=217姨
3勾股定理在求角問題中的應用
在初中數學當中，有些求角問題使用常規方法難以解決，而使用勾股定理則能夠很快地解決。因此，將在求角問題中充分應用勾股定理便有著實質性的作用[2]。例題2：如圖2，在等邊ABC中，有一點P，已知PA、PB、PC分別等于3、4、5，試問∠APB等于多少度？解：把APC繞著點A旋轉，旋轉至ABQ，讓AB和AC能夠重合；此時，AP＝AQ＝3，BQ＝PC＝5，，∠PAQ＝∠BAC＝60°；所以，PAQ是等邊三角形；所以，PQ＝3；在三角形PBQ當中，PB、BQ分別等于4、5，所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ＝90°；所以，∠APB＝∠BPQ＋∠APQ＝90°+60°＝150°。
4勾股定理在證明垂直問題中的應用
在初中數學當中，一些證明垂直的問題如果利用勾股定理進行求解，那么將能夠達到事半功倍的效果。下面筆者結合有關證明垂直問題的題型展開討論。例題3：如圖3所示，已知AB＝4，BC＝12，CD＝13，DA＝3，ABAD，證明：BCBD[3]。證明：由已知條件ABAD可知，在三角形ABD中，∠BAD＝90°；因為AD、AB分別為3、4，由勾股定理可知：BD2＝AB2＋AD2＝32＋42，求得：BD＝5，又因為BD2＋BC2＝52＋122＝132＝CD2；因此，三角形DBC為直角三角形，其中∠CBD＝90°；所以，BCBD。
5勾股定理在實際問題中的應用
對于勾股定理，還能夠解決實際問題，并且這些實際問題都是在日常生活中可以看到的。例題4：一棵小樹高為4米，現有小鳥A停留在樹梢上，此時小鳥B停留在高20米的一棵大樹樹梢上發出友好的叫聲，已知大樹與小樹的距離為12米，如果小鳥A以4m/s的速度飛往大樹樹梢，試問：小鳥A至少需要多長時間才能夠與小鳥B在一起？解：如圖4，根據題干的已知條件可知，AC＝16m，BC＝12m，由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2＝162＋122，求得AB＝20m；所以，小鳥A所需時間為20/4＝5秒。筆者認為，利用勾股定理解決實際問題，需要弄清題意，進而對題目中所涉及的直角三角形找出來，然后結合勾股定理進行求解[4]。在例題4中，最主要的步驟便是依照題意，結合勾股定理，然后畫出大樹與小樹之間的直角三角形，在充分利用已知條件的基礎上，便能夠使問題有效解決。
6結語
通過本課題的探究，認識到在初中數學中，對于許多問題可以利用勾股定理進行求解。包括“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實際問題”等。筆者認為，勾股定理在幾何學當中占有非常重要的地位，它不僅僅只是一種解決數學問題的定理那么簡單，它還與我們的日常生活息息相關。在數學教學過程中，學習勾股定理進行解題，不但能夠提高學生解題的效率，而且還能夠讓學生對生活引發思考，從而在學習數學過程中，體會到生活與數學學科的密切聯系，進一步為數學在生活中的實際應用奠定良機。
作者:孟昭波單位:江蘇省淮北中學
數學勾股定理論文:初中數學勾股定理教學的創新策略分析
【摘 要】在初中數學教學中，勾股定理是重要的基本原理注意，學生和教師都十分重視，由于勾股定理知識點難度大，因此，在長久以來的教學過程中，為了幫助學生能夠熟練掌握和應用勾股定理，教師在不斷的完善和創新教學模式，隨著現代化社會的到來，多媒體和網絡信息技術被廣泛應用于教學中，教師可以充分發揮現代化技術的作用，為學生構建一個高效、愉悅的教學環境，提升學生的學習效率，提高初中數學的教學效果。本文通過分析初中數學勾股定理教學的創新策略，以期為同行提供有效的教學建議，讓學生能夠牢固掌握勾股定理。
【關鍵詞】初中數學；勾股定理教學；創新策略
為了讓初中數學課堂豐富化和多樣化，教師應該多應用現代化技術來營造愉悅輕松的課堂氛圍。傳統的教學方式，教師充當了的身份，學生大部分的課堂時間是被動的接受教師說講授的學習內容，處于被動學習狀況，不僅學習效率不高，一旦遇到難懂的、難理解的知識，往往沒有充足的時間進行分析和揣摩，導致學生學習效率越來越低，甚至對學生將來學習數學造成了阻礙。針對此，在新課改的大背景下，教師應該將促進學生自主學習和自主探究，培養學生的創新能力作為教學目標，根據學生的學習需求，立足于學生的實際情況，充分利用現代化技術，為學生營造輕松的、高效的數學課堂，促進學生學習和發展。
1在切入勾股定理過程中，充分發揮多媒體作用
為了提高課堂教學質量，初中數學教師在課堂開始之前就要能夠找好教學的切入點，在課堂活動一開始就抓住學生的注意力，讓學生對教學內容產生求知欲，并能夠清晰的認識到教學內容。由于初中生正處于心理快速發展的時期，對多媒體存在較大的好奇心，教師利用多媒體來引入知識點，可以讓學生不自覺進入到角色中進行學習，進而充分參與到教學活動中進行數學問題的探究和學習[1]。例如：教師可以在課堂開始之前播放兩段視頻，及時個視頻是：小紅拿著一根2.2m的竹竿上火車，但是按照中國鐵路乘坐法規規定，乘客在乘坐火車時，所攜帶的物品不能超過兩米，但是乘警發現夏紅拿著超過標準長度的竹竿上火車卻視而不見，這是為什么？這種利用視頻引導學生的方式，可以激發學生對接下來的學習產生熱情，進而認真學習接下來的知識。
2為了將勾股定理具體化，注重突出多媒體功能
當今對學生的優劣程度都是根據考試成績來進行判斷，但是在初中時間教學中可以發現，學生的學習過程往往比學習結果更重要，教師應該讓學生充分參與到教學活動中，所謂授之以魚不如授之以漁，教師應該幫助學生掌握教學方法，引導學生通過自主學習來進行自我完善和自我進步[2]。勾股定理知識具有較強的靈活性，勾股定理知識可以與其他數學知識點進行有機結合，成為一種綜合性問題，因此，初中數學教師應該讓學生學會勾股定理并熟練運用勾股定理來進行綜合數學問題的解決。為了幫助學生突破勾股定理知識點的束縛，教師應該將勾股定理形象化和具象化。例如：初中數學教師可以利用多媒體技術將數學計算公式和圖像、聲音結合起來，首先設置數學問題：已知AB=4，BC=12，CO=13，DA=3，ABAD，請證明BCBD。傳統的教學方式，教師都是通過黑板來進行逐步推演，但是，為了創新教學策略，教師可以將推演過程做成幻燈片的形式，在步驟推演中插入適當的音效，強化學生的記憶。
3鼓勵倡導學生進行猜想，點燃學生的創新火花
偉大的數學家宜里士多德認為：疑問和近期是思維的開始，因為疑問是學生思考和產生認知的沖動，只有在學生產生疑問后，才能進行自主學習和探究，因此，在進行教學的過程中，教師應該通過提出問題，引導學生分析問題和解決問題，讓學生在整個過程中進行思考，從而發展學生的創新意識和實踐能力[3]。例如：在進行勾股定理的逆定理學習過程中，首先讓學生進行勾股定理的回顧：加入直角三角形兩直角邊的長為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，由此，教師可以提出問題：加入一個三角形的三邊長為a、b、c，三條邊滿足條件a2+b2=c2，請問這個三角形的形狀怎么樣？大部分學生都猜測是直角三角形。為了讓學生強化勾股定理的理解，教師可以讓學生以小組的形式進行分析驗證。很多學生提出想法：畫一個三邊長為3、4、5的三角形，顯然32+42=52，且畫出來后也是直角三角形。基于此，教師可以繼續進行提問引導：這種想法是不是具有較大的皮變形，當前對一個三角形是不是直角三角形，只能通過證明其中一個教師直角，那么我們應該如何判斷這個角是直角？由此，教師就可以幫助學生形成笛思維：利用已知條件作直角三角形，在證明直角三角形與原三角形全等，那么以上問題就得意解決。做直角，截取兩直角邊相等，利用勾股定理和已知條件可以計算出斜邊長c，通過三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS），則可以證明學生自己的猜想。在整個教學過程中，學生積極思考，證明自己的猜想，處于學習的主體位置，學習效率較高。
4構建現代化的教學情境，激發學生的創新意識
當前我國已經進入了互聯網時代，教師應該利用互聯網加強師生之間的溝通，并通過互聯網拓展學生的知識面，促進學生的進一步發展。例如：學習完勾股定理的相關知識后，教師可以將知識網絡構造圖放在校園網平臺中，讓學生在課外也能夠對知識網絡進行重溫和學習。與此同時，教師可以在校園網平臺中，典型例題，學生完成后提交給系統進行批改，教師則對學生的做題情況進行查看和統計，針對學生容易出錯的題目，設計相應的教學環節，幫助學生強化這一領域的知識。另外，教師可以倡導學生組建課外學習小組，小組通過微信、QQ等現代化社交軟件進行學習交流，學習好的帶動學習差的，相互促進、相互學習，提高學生整體學習水平。學生在這樣融洽、向上的學習環境中，學習氛圍良好，學習效率也得以提高。且利用現代化交際手段，強化師生、生生之間的溝通交流，可以幫助學生強化知識，打造良好的交際圈，促進學生的發展。
5結束語
總而言之，隨著現代化的發展，現代化技術深入到我們的生活和學習中，互聯網時代的到來促進多媒體技術的進一步發展，創新初中數學勾股定理教學方法，教師應該充分利用多媒體技術和互聯網技術，將抽象的勾股定理知識具象化，為學生創建活躍的課堂氛圍，調動學生的學習積極性，幫助學生養成自主學習和自主探究的良好學習習慣。與此同時，教師還可以利用多媒體技術幫助學生拓展知識范圍，除了課文以內的知識以外，讓學生能夠了解到課文以外的知識內容，促進學生自學能力的發展。在初中數學教學中，勾股定理教學是重點，也是難點，教師應該對教學方法進行創新，將多種教學方式應用于教學過程中，幫助學生牢固掌握勾股定理，使學生能夠熟練運用勾股定理解答其他數學問題。
數學勾股定理論文:應用勾股定理, 把握數學思想
摘 要： 勾股定理在幾何學中具有非常重要的地位，是整個平面幾何的重要基礎，在現實生活中也具有普遍應用性。初中生正處于由具體思維向形式化思維轉變的時期，勾股定理教學也處于學生數學思維轉折階段，因此它是教學中的一個難點。
關鍵詞： 勾股定理 初中數學教學 數形結合
勾股定理是學生在已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的，它是直角三角形中非常重要的性質。它揭示了三角形三條邊之間的數量關系，是解決直角三角形問題的主要根據之一，它在實際生活中用途廣泛。新課改強調培養學生的動手能力和探究能力，通過實際操作與探究活動，使學生獲得較為直觀的印象，從而掌握勾股定理，以利于正確地運用。
一、通過引趣設疑，引發學生探究勾股定理
在教學中教師可通過導入課外有趣的內容，作為課堂教學的切入點。例如：在地球之外的浩瀚宇宙中，到底有沒有外星人？如果有，我們如何與他們聯系？著名的數學家華羅庚就曾建議，讓宇宙飛船帶著幾個數學圖形飛到宇宙空間，其中一個就是邊長為3∶4∶5的直角三角形，你知道華羅庚為什么會提出這樣的建議？等等。通過一系列的問題，激發學生的興趣，抓住他們的注意力。原來古老的勾股定理，竟然成為了地球與外星人的聯絡密碼。這樣學生就會在感嘆人類古老文明的同時，更加體會到學習勾股定理的重要性。也可以通過一系列生活中隨處可見的直角三角形的實例，引起學生的關注。如給學生講一個故事：相傳在2500年前，數學家畢達格拉斯在他的朋友家做客時，發現朋友家的地面磚能反映直角三角形三邊的某種數量關系。這個小故事讓學生懂得，科學家的偉大發明都是在看似平淡的現象中發現的。數學知識來源于現實生活，只要我們學會觀察與思考，就能激發學生的學習興趣。
二、學習勾股定理，體會數形結合的思想
新課改強調，數學教學要看學生能否在活動中積極思考與探究，能否探索出解決問題的辦法，能否進行積極的聯想，以及學生能否有條理地表達探究過程與獲得的結論等。也可以鼓勵學生用拼得的正方形來驗證勾股定理，引導學生體會數形結合的思想方法，培養數學應用意識。勾股定理描述的是直角三角形的三邊之間的關系，應用勾股定理的前提是這個三角形必須是直角三角形。要強調通過圖形找出直角三角形三邊之間的關系，要從代數表示聯想到幾何圖形，由幾何圖形聯想到代數表示。勾股定理是人們在實踐中通過圖形的分割，并探討圖形之間面積的關系過程中總結出的規律。教學中要引導并鼓勵學生多動手探索，體驗數學活動充滿著探索與創造。按課本中的方法證明這個定理，例如：用四個全等的直角三角形拼成正方形，大正方形面積可以表示為（a+b）2，四個全等的直角三角形的面積+小正方形的面積=c2+2ab，得出（a+b）2=c2+2ab，化簡可得a2+b2=c2。我們還可以把公式變形為：a2=c2-b2或b2=c2-a2，于是可知在直角三角形中已知兩邊可求出第三邊。
三、拓寬學生視野，但弱化對定理的發現
對于勾股定理的發現，我們認為應該做弱化處理，沒有必要讓學生在此太花精力引導學生探究怎樣發現勾股定理的。如果處理得不當，很容易導致學生盲目地探究。在實際教學中，教師雖有探究式教學的理念，但在設計上存在著困惑：通過度量直角三角形三條邊的長，計算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數據不總是整數，學生很難猜想出它們的平方關系。所以，教師常常把勾股定理作為一個事實告訴學生。如何處理這一困惑，一條途徑就是教科書直接把勾股定理呈現在學生面前，而更多地把空間留給介紹與勾股定理相關的數學史料上，借此拓寬學生的視野。第二條途徑是參考顧泠沅、王潔等人的結論：運用“腳手架”理論，通過“工作單”進行鋪墊，為學生的學習提供一種教學協助，幫助學生完成在現有能力下對高認知學習任務的難度的跨越。這樣的處理也具有一定的可行性。不過大多數人更傾向于及時條途徑，弱化發現，而強化證明，重視應用，把重點放到定理的證明與應用上，這樣也許對學生的思維更有利。
四、注重數形結合，實現教學方式的轉變
學了數學卻不會解決實際問題，造成了知識學習和知識應用的脫節，感受不到數學與生活的聯系，這是當前初中數學教學的現狀，教學中到處充斥著過量的、重復的題目訓練。真正的教學應該關注學生學習的過程。首先要關注學生是否積極參加探索勾股定理的活動，關注學生能否在活動中積極思考，能否探索出解決問題的方法，能否進行積極的聯想（數形結合），以及能否有條理地表達活動過程和所獲得的結論等。其次要關注學生學習的知識性及其實際應用。教學主要目的是掌握勾股定理，體會數形結合的思想。現在的情況是學生知道了勾股定理而不知道在實際生活中如何運用勾股定理。因此在學生了解勾股定理以后，不妨出一個類似于《九章算術》中的應用題，例如：在平靜的水面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風吹來，水草被吹到一邊，草尖與水面平齊，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？教學方式的轉變在關注知識形成的同時，更加關注知識的應用，特別是所學知識在生活中的應用，真正起到學為所用的作用。
數學勾股定理論文:勾股定理解題中的數學思想
勾股定理是初中數學中的一個十分重要的定理，它反映了自然界中的一個最基本的規律，體現了直角三角形三邊之間的數量關系。通過勾股定理的學習，學生們能夠進一步理解和感覺一些數學思想方法，從而提高運用數學知識解決實際問題的能力。以下就從五個方面來談談在勾股定理解題過程中所體現出來的數學思想。
一、方程的思想
在求解勾股定理問題時，常常需要將與三角形各邊均有關系的某個量設未知數，再依據題目中其他數量關系列方程求解
例1如圖在長方形ABCD中，AB=5，在CD邊上找一點E，沿直線AE把ADE折疊，若點D恰好落在BC邊上點F處，且ABF的面積是30，求DE的長。
二、轉化思想
最短路線問題是勾股定理在實際問題中的具體應用之一，解決此問題的關鍵是先將立體圖形轉化為平面圖形，再利用“兩點之間線段最短”及勾股定理等知識來解決。
例2如圖已知柱的底面周長為16cm，高為6cm，一只螞蟻從點A到點B尋找食物，螞蟻要爬行的最短路程是多少？
解析：由題意可知，圓柱體中的A，B兩點是曲面上的兩點，表示這兩點之間的最短路程顯然不能直接畫出來，但我們知道圓柱的側面展開圖是一個矩形，于是可畫出圖2。這樣轉化到平面上求兩點間最短路程。
點評：側面展開后，A，B兩點間的距離是底面周長的一半，不能誤解為底面周長，解決立體圖形中最短距離問題的關鍵是利用轉化思想，將陌生的立體圖形展開，轉化為熟悉的平面圖形再求解，即“化曲為平”
五、數形結合思想
數形結合思想即借助數的性闡明圖形的某種屬性。利用圖形的直觀性闡明數與數之間的關系，這是溝通數形之間的聯系、并通過這種聯系產生感知或認知、形成數學概念或尋找解決數學問題途徑的思維方式。 數形結合是解決數學問題的一個有力工具，也是中學數學中極為重要的基本方法之一
例6如圖1，一架梯子長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與端角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，如圖2所示，測得BD長為0.5米，求梯子頂端A滑落了多少米？
點評：解答此題的關鍵是構造直角三角形，用勾股定理來尋求邊與邊之間的關系是解此類問題的常用方法。勾股定理的公式及各種變式應牢固掌握，靈活應用。注意問題中只告訴三角形的一些條件，可啟發我們運用勾股定理的逆定理進行判斷。
數學勾股定理論文:試論初中數學勾股定理教學與學生知識串聯能力培養
[摘 要] 勾股定理是初中數學教學的重要定理，是培養學生知識串聯能力的有效工具. 本文從勾股定理串聯數字運算、串聯幾何證明、串聯函數演算三方面，具體闡釋初中數學如何利用勾股定理教學推動學生知識串聯能力培養.
[關鍵詞] 初中數學；勾股定理；知識串聯
初中數學新課程標準對學生學習能力、創新能力都提出了全新的、更高的要求，而對學生學習能力和創新水平產生直接影響的則是學生的知識串聯能力. 所謂知識串聯能力，簡而概之，便是學生舉一反三，有效聯系各類知識，形成強有力的知識正遷移，有效促進學生課程學習的一種能力. 初中數學知識學習在所有初中學科中是最成體系、最富結合度的，各個知識點串聯運用的頻率高、范圍廣，因此學生的知識串聯能力對于初中數學的教、學同樣具有重大意義. 勾股定理是解釋直角三角形三邊關系的重要定理，同時也是初中數學課程中最為重要的幾個定理之一. 勾股定理具有形式變化多、應用范圍廣等特點，能與代數運算、圖形推導、函數演算等數學內容進行串聯應用. 基于這一特性，勾股定理便成為初中數學培養學生知識串聯能力的極為有效的工具. 為了進一步培養學生的知識串聯能力，推動初中數學課程改革，筆者就初中數學勾股定理教學如何與學生知識串聯能力培養“擦出火花”進行探究，總結出如下三點建議.
勾股定理串聯數字運算，培養
學生的代數運算能力
代數是初中數學非常重要的內容，包含有理數、整式、實數的代數運算，等式、不等式、方程等內容，是學生開拓初中數學知識時必不可少的工具. 將勾股定理及逆定理與代數知識內容進行串聯，將為初中數學代數練習注入新鮮血液，將極大地豐富初中代數運算練習的內容與形式，有助于激發學生代數練習熱情，提升學生代數綜合解析、運算能力. 初中數學代數運算要與勾股定理有效串聯，筆者認為要做好“換”的文章. 怎么“換”？就是將代數運算中的必備條件、必要數字、必定過程勾股定理化，將這些本來現成的代數運算條件全部換成勾股定理內容，讓學生的代數運算能力在勾股定理和代數運算概念的靈活轉化中得到提升.
應用題是數學運算中非常經典的表達形式，筆者將勾股定理串聯到代數應用題中，設計了這樣一道試題：“某條高速公路的快車道規定時速不能超過120 km/h，已知一輛小汽車沿著一段直道高速公路的快車道行駛，在路過車輛測速儀正前方時，汽車與測速儀相距60 m，2 s后，汽車距離測速儀100 m，請問汽車超速了嗎？”要求汽車是否超速，就必須求出汽車的時速，這是一道典型的代數應用題，但這道代數題卻把學生難住了，因為要求速度，必須知道路程和時間，時間是知道了，路程呢？于是筆者引導學生根據題意畫了一張圖（如圖1）. 學生可以發現，汽車正對測速儀時剛好在A點，2 s之后，汽車在B點，測速儀和A，B兩點剛好圍成一個直角三角形，測速儀到A點的距離是60 m，到B點的距離是100 m，由此很容易得出AB2=1002-602，即AB=80 m. 由此可知小汽車的時速是80÷2=40 m/s=144 km/h，顯然汽車已經超速了. 像這樣利用勾股定理與代數運算串聯，能有效培養學生分析問題、轉化問題、解決問題的能力.
勾股定理串聯幾何證明，培養
學生的圖形解析能力
三角形證明幾乎占據了初中數學幾何證明中的絕大部分內容，而勾股定理又是體現直角三角形三邊關系、解決三邊問題的有效定理，因此，勾股定理與初中數學幾何證明可以說是無縫對接. 通過勾股定理的延伸運用，將為學生的幾何證明打開一個全新的思路，許多看似難解、難證的幾何問題，也將在勾股定理的引進和串聯下迎刃而解. 勾股定理和初中數學幾何證明之間的串聯，筆者覺得其關鍵是“找”，教師要引導學生找到幾何圖形中潛在的勾股定理，并地把握勾股定理與圖形證明之間的關系，從而解決證明問題.
例如，筆者為了將勾股定理與相似三角形證明進行串聯，設計了這樣一道試題：“如圖2所示，AB與CD相交于點E，已知AB=11，AE=5，CD=13，DE=10，AC=4，DB=8，求證：ACE∽DBE.”學生一看此題，都一籌莫展，于是我開始引導學生：“同學們，我們知道AB=11，AE=5，那能不能求BE的長？”學生回答“能”，我再問：“那我們知道CD=13，DE=10，能不能求CE的長？”學生也點頭說“能”，我接著引導：“同學們，經過計算后，我們手頭掌握的條件如下，在ACE中，AE=5，AC=4，CE=3，根據這組數字我們可以發現，AC2+CE2=AE2，符合勾股定理，所以ACE是直角三角形；再看看DBE，DE=10，DB=8，BE=6，根據這組數據我們可以發現DB2+BE2=DE2，符合勾股定理，所以DBE是直角三角形. ”通過這樣的引導，學生在圖形解析時，利用勾股定理打開了突破口，能找到圖形之間的聯系，最終解決幾何證明題，這有助于培養學生的發散思維，增強學生的圖形解析素養，提升學生的幾何證明能力.
勾股定理串聯函數演算，培養
學生的抽象思維能力
對于很多學生來說，函數就是噩夢，緣何如此？答案就是函數太抽象了. 我們生活在一個具象的世界，對于事物都習慣用具象思維思考，所以很多學生才會對抽象化的函數演算產生畏難情緒. 函數是難，但并非毫無“破綻”，如果能夠引導學生有效串聯勾股定理，許多函數問題都能不攻自破. 因為函數是直角坐標系中的一組變量關系，在直角坐標系中我們很容易找到直角三角形，所以只要能在勾股定理和函數之間建立聯系，解決函數問題自然不在話下. 那如何建立聯系？筆者認為答案就一個字，那就是“變”. 很多時候，函數直角坐標系中沒有直角三角形，這個直角三角形需要我們利用函數知識進行合理轉化，自己“變”一個出來，只要能夠引導學生順利“變”出直角三角形，便能實現勾股定理與函數演算的有機串聯.
比如，筆者在教學初中數學“一次函數”時，是這么引導學生串聯勾股定理的，題目是：在直角坐標系中，有A（4，2），B（1，3）兩點，點E是x軸上一點，求AE+BE的最小值. 這樣的題目很抽象，學生不知從何下手，于是筆者引導學生：“同學們，我們學過的知識中，涉及最短距離的定理是什么？”學生思考后回答：“兩點之間，線段最短. ”我說：“同學們說得很好，所以要求AE+BE的最小值，我們就應該使AE和BE變成一條線段. 最簡單的方法是什么？設置點A關于x軸對稱的點A′（4，-2）. ”學生點頭，筆者繼續引導：“我們現在有一條直線了，那我們好好觀察一下，如果我們要變出一個直角三角形，A′B會是什么邊？”“斜邊”，學生齊答. 筆者點頭繼續引導：“所以，我們要變出一個直角三角形，只要找到兩條直角邊就行了，最簡單的方法就是作BC∥y軸，A′C∥x軸，交點是C，于是點C的坐標是（1，-2）. 所以A′C=3，BC=5，A′B2=32+52，可得AB=.這樣我們就求出AE+BE的最短距離了.”通過這樣引導學生設置對稱點，畫平行線，“變”出一個直角三角形，將有助于幫助學生找到抽象思維具象化表達的方法，為學生破解抽象函數打通一條通道.
總之，利用初中數學勾股定理推動學生知識串聯能力培養的核心思路，就是幫助學生養成思維發散習慣，引導學生在題干中找到隱藏著的解題之匙，通過知識之間的有機串聯、組合和應用，提高數學學習效率. 教師一定要以此為突破口，多思多想，反復琢磨，探索更多勾股定理與其他知識點有效串聯的策略，真正用好勾股定理，提升學生知識聯系能力和綜合運用能力，切實推動初中數學教學.
數學勾股定理論文:淺析新課程下“勾股定理”的數學分析與建議
勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史。縱觀初中數學，勾股定理架起了代數和幾何的橋梁，將數與形密切聯系起來。在幾次的課程教學改革中，勾股定理都作為中學數學的重點內容被保留下來。下面筆者針對課程內容、教學目標要求、課程關注點等方面進行淺析，提出一些教學建議。
一、新、老課程“勾股定理”的比較
1.課程內容的變化
新課程相對于老教材增加了“螞蟻怎樣走最近”這一節，并在教材中增加勾股定理的歷史的相關素材，書中提供了較為豐富的歷史或現實的例子來展示勾股定理的應用。
2.教學要求的變化
老教材對勾股定理的教學要求是：（1）使學生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能夠熟練地運用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長，會用勾股定理判斷一個三角形是不是直角三角形。
新課程下的勾股定理教學要求是：（1）經歷探索勾股定理及一個三角形是直角三角形的條件的過程，發展合情推理能力，體會數形結合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法，并能運用勾股定理解決一些實際問題；（3）掌握判斷一個三角形是直角三角形的條件，并能運用它解決一些實際問題；（4）通過實例了解勾股定理的歷史和應用，體會勾股定理的文化價值。
由上可知，新課程下的勾股定理在已知直角三角形兩邊求第三邊中，給出的兩邊數據相對于老教材簡單得多，刪去了煩瑣的計算過程，勾股定理逆定理的理論證明，利用勾股定理的逆定理解題的數據均不會過大，通過古埃及的結繩來說明，省去了煩瑣的證明過程。新課程中加強了勾股定理的實際運用，利用勾股定理及逆定理解決實際問題成了重點，例如：“螞蟻怎樣走最近”這一節突出了勾股定理及逆定理的實用性。書中提供了較為豐富的歷史或現實的例子，來展示它們的應用，體現它們的文化價值，并且在知識發生過程中，作了較高要求。
3.課程關注點的變化
老課程比較關注運用勾股定理及逆定理的相關運算，即已知直角三角形兩邊長求第三邊和判定一個三角形是否是直角三角形。新課程則強調了勾股定理在現實生活中起著重要作用，是數形結合的典范。
二、教學中應注意的問題及建議
1.重視實際情景
新課程創設實際情景，讓學生感受到現實生活中勾股定理的應用，從實際情景抽象出勾股定理。因此，建議為學生創設豐富的實際情景，使學生經歷知識發生的過程。在證明勾股定理逆定理中，可將一根繩子打上13個結，將繩子分成12等分，讓三位同學上講臺，一位同學握住第1和第13個結，一位握住第4個結，一位握第8個結，創設此情景，讓學生自己思考、分析，從而判斷此三角形為直角三角形，歸納出勾股定理逆定理。
2.重視數形結合
新教材里，勾股定理的探索和驗證過程中，數形結合有較多體現，滲透了代數運算與幾何圖形之間的關系。因此，建議在教學中應注意滲透這種思想，鼓勵學生從代數表示聯想到有關的幾何圖形，由幾何圖形聯想到有關的代數表示，有助于學生認識數學的內在聯系。例如：在探索勾股定理過程中，應引導學生由正方形的面積想到a2、b2、c2，而在勾股定理的驗證過程中，教師又應引導學生由數a2、b2、c2想到正方形的面積。
3.重視實際應用
對于勾股定理，新教材不僅要求能從實際情景中抽象出勾股定理，而且要能將它用于實際問題中，從而體現出數學的應用價值。因此，建議在教學中充分利用教科書中的素材讓學生體會這種應用，如古埃及人利用結繩的方法做出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線等。
4.重視學生經歷探索勾股定理的過程
新教材中安排了探索勾股定理、驗證勾股定理、探索直角三角形的條件等活動。因此，建議在教學中不要直接給出結論，要鼓勵學生，通過觀察、實踐、推理、交流等獲得結論，發展空間觀念和推理能力。例如教科書設計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，教師應引導學生通過由特殊到一般的探索得到結論。
5.重視自主探究與合作交流
新教材自始至終為學生提供自主探索、合作交流、積極思考的空間和機會，課堂上引導學生主動參與探究或學習，激發學生學習數學的興趣，調動學生的積極思維，督促每個學生都在這個過程中積極參與，從而培養探索與創新的精神。
6.重視愛國主義的滲透
教材介紹了我國古人趙爽的證法，介紹了趙爽弦圖，表現了中國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，是中國人的驕傲，通過向學生介紹我國古代勾股定理研究方面的成就，激發學生熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養他們的民族自豪感，同時教育學生發奮圖強、努力學習，擔起建設偉大祖國的重任。
（作者單位：貴州省安順市實驗學校）
數學勾股定理論文:淺談勾股定理在初中數學中的應用
【摘 要】勾股定理既是初中數學知識中的重點，也是難點，將會學生利用勾股定理進行有關題目的解答，可大大提高解題效率。本文從三個方面探討了如何加強勾股定理在初中數學教學中的應用，希望以此能夠為初中的數學教學提供一些幫助。
【關鍵詞】初中數學；勾股定理；教學方法；應用
勾股定理是初中數學知識中的一個重點，也是難點，是解答有關直角三角形題型的基礎。而且勾股定理在實際生活中也被廣泛的應用，與人們的生活息息相關。它既是一個幾何概念，更是數學中數形結合思想的體現。勾股定理應用到初中數學教學中去，教學重點在于讓學生理解其概念并創建空間想象性思維。為了使學生更好的掌握有關勾股定理的內容，并提高實際應用能力，老師需要在教學過程中精心設置教學內容，提高學生們的學習積極性，用直觀的例子來輔助理論教學。以下就初中老師如何在數學教學中利用勾股定理更好的提高質量進行了分析，并列舉了相關題型進行輔助說明。
一、教師需要精心創設教學方法，以學生為主體
在以往的數學課堂教學中，多是以老師進行題型講解、要求學生進行專項練習為主，學生們總是處在被動的被安排的地位，這于新課標的要求不符，需要老師轉變教學觀念，把學習的主動權交給學生，要讓所有的教學活動都圍繞著學生進行，以生為本。在進行勾股定理的教學時，以生為本的觀念非常關鍵，有利于自行了解和掌握勾股定理的相關內容。老師在進行教學預設時需要充分考慮學生實際的數學能力，精心的創設教學方法，想方設法的調動學生們進行積極的思考。另外，老師們還需要向學生強調勾股定理和逆定理的區別，防止學生將兩個定理混在一起，可以對學生進行強化訓練，加強學生們對兩個概念的把握。
二、要充分利于多媒體教學的優勢，進行情景化教學
勾股定理不僅是初中數學知識中的重點，在數學考試中占據大量的分值。更是一個難點，許多學生都曾反映在對勾股定理的學生和應用上比較吃力，數學老師如何將勾股定理的知識點深入淺出教授給學生，如何加強學生對知識的掌握和應用，是所有數學老師的教學重點。初中生他們的心智還不夠成熟，認知水平有限但是卻對新鮮事物充滿了好奇心和求知欲，老師們在實際教學時，就可以根據初中生的年齡和心理特點，利于現代化的多媒體技術進行輔助教學，通過多媒體手段來創設情景，例如利用圖片、動畫、影像等來吸引學生們的注意力，并通過這種新穎的途徑將學生們逐漸引導到勾股定理的相關內容中來，運用多媒體技術將抽象的數學概念轉化為生動的、形象的內容，可以加強對學生對知識點的深入理解。
例如：圖1.為一課4米高的小樹，現在有一只小鳥A停留在樹梢上休息，而另一只小鳥B停留在高20米的一棵大樹的樹梢上發出友好的叫聲。現在已知大樹和小樹之間的距離是12米。如果小鳥A以4m/s的速度飛向大樹的樹梢，那么請問：小鳥A至少需要多長時間才能與小鳥B匯合？
解答：如圖1.由題目中的條件已知，AC=16m，BC=12m，根據勾股定理可以得出：
AB2=AC2+BC2=162+122，得出AB=20m，所以小鳥A所需的時間為20/4=5m。
例如：虛線陰影部分是某條河的河面，要測量AB兩點之間的距離，要觀測三個測點：A、B、C，∠BAC=90°，又量得BC=1300m，AC=500m，計算河寬AB之間的距離是多少？
解答：如圖2.由題目中的給出的角度和長度，根據AB2=BC2-AC2，可以得出AB2=13002-5002=12002，所以河寬AB之間的距離為1200米。
在老師講解這兩道題的時，就可以通過多媒體手段畫出這棵樹和兩只小鳥的形象，畫出這條河流的形象，還可以做出動畫的效果，讓學生們真正的看到小鳥在飛，河水在流。這樣一來，學生們的注意力都會放在這道題上，有利于提高老師的教學質量。
三、要將生本理念和多媒體技術向融合，深化學生的思維
生本理念就是在教學中把學生作為主體，改變以往學生們在學習中的被動狀態的一種新型的教學理念，旨在讓學生成為學習活動的主人。要在“聽”和“學”中實現老師和學生的互融，通過老師為學生們創設的教學情景，學生們在主動思考、自覺創新中使自己的自主學習能力得到鍛煉和提高。同時，老師又運用多媒體教學手段來吸引學生們的參與興趣，實現生本教學。
例如：圖3.是一棵美麗的勾股型樹，其中所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的面積分別是3、5、4、2，那么底層最粗較大的正方形樹干的面積是多少？
解答：由勾股定理可知，A和B的正方形面積之和等于正方形F的面積，從而得出F的面積為8。同理可得正方形G的面積為6，可以得出底層最粗較大的樹干E的面是F和G正方形面積之和，所以答案是14。
例如：圖4.是“趙爽弦圖”的飛鏢板圖。其中直角三角形的兩條直角邊分別是2和4，假設飛鏢每次都扎在板上，那么投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區域的概率是多少？
解答：由題目已知條件可得出中間正方形的邊長是2，根據勾股定理可得出外面大正方形的邊長是2，所以小正方形與大正方形的面積比是對應邊的比的平方，即1：5，在根據概率公式可以求出投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區域的概率是1/5。
在這樣的拼圖式的題型，老師需要引導學生通過拼出不同的圖形來發現其中隱藏的勾股定理，使學生們的創意想象得到充分的發揮，并善于發現每一位學生身上的閃光點，有針對性的對預設教學進行調整，促進預設和生本的融合。
小結
勾股定理既是初中數學知識中的重點，也是難點，將會學生利用勾股定理進行有關題目的解答，可大大提高解題效率。本文從三個方面探討了如何加強勾股定理在初中數學教學中的應用，希望以此能夠為初中的數學教學提供一些幫助。
數學勾股定理論文:數學史在勾股定理一章中的比較分析
摘要：對人教版和北師大版數學教材中“勾股定理”一章數學史編排模式的比較發現：兩版本教材在數學史的設計上各具特色，都力求以多種方式呈現數學史，北師大版比人教版更加注重學生的實踐操作能力和交流能力的培養，人教版更關注學生的情感；反思發現兩版本教材在數學史融入教學中的弱點：數學史的運用過于淺顯、缺乏與信息技術的整合。
關鍵詞：數學史；勾股定理；教材比較
一、引言
數學史與數學課程的整合已成為當今數學教育界的一個熱點話題。張奠宙先生指出：在數學教育中，特別是中學的數學教學過程中，運用數學史知識是進行素質教育的重要方面。《全日制義務教育數學課程標準（2011版）》明確提出，“數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中，教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用，以及數學發展史的有關材料”。數學是積累的科學，“它的發展并不合邏輯，數學發展的實際情況與我們學校里的教科書很不一致”。根據歷史發生原理，學生對數學的理解與數學本身的發展有很大的相似性。一套好的教材若要返璞歸真地反映知識的來龍去脈、思想方法的深刻、內涵以及科學文化的進步，就必須融入一些簡略的數學史以啟發思維、開闊視野、激發興趣。這就使得在教材的編寫與修訂過程中，合理設計數學史內容及其編排方式顯得尤為重要。基于以上認識，本文僅對人民教育出版社和北京師范大學出版社初中數學教材（以下簡稱“人教版”、“北師大版”）中勾股定理一章的數學史進行比較分析。
二、調查與分析
首先對人教版《義務教育課程標準實驗教科書?搖數學（八年級下冊）》和北師大版《義務教育課程標準實驗教科書?搖數學（八年級上冊）》勾股定理一章中的數學史進行了統計，具體見下表1。
從表1可以看出，在勾股定理這一章中兩版本教材都呈現了大量史料，但在數學史的呈現方式和選材上，又各有側重點。據表1，兩版本教材在本章各出現數學史11處、13處，主要分布在正文、習題、專題和閱讀材料中。（人教版以“閱讀與思考”呈現數學史料，北師大版以“讀一讀”這一欄目呈現史料，為統一起見，統稱閱讀材料；這里的“專題”多是指在相關知識旁邊以框架的形式對某些內容作簡要介紹。）此外，北師大版及時節（探索勾股定理）和第三節（螞蟻這樣走最近）的引入是在歷史名題“折竹抵地”和“蜘蛛與蒼蠅”問題的基礎上改編的，雖然表面文字上看不出歷史的影子，但是我們在統計時仍把這兩處歸為數學史料。
三、章前內容和數學家的設計
人教版在章前圖文并茂，不僅呈現了2002年北京國際數學家大會的會標“趙爽弦圖”，還簡要解釋了勾、股、弦所表示的含義，并在此基礎上提出了兩個問題，進而交待了這一章所要學習的主要內容。這樣的設計不僅激起了學生的求知欲、好奇心，還能讓學生在學習新知識之前對本章要干啥有一個大概的了解，同時也便于學生在學習完這章后的自我評估。比起北師大版在章前簡單列出各文明古國關于勾股定理說法的設計更為人性化。
兩版本教材在介紹數學家時，都是簡要的說明數學家的生平（如國籍、年代、出生地等）及做出的貢獻，并沒有體現數學家遭遇的困惑、挫折、失敗的經歷。使學生覺得數學家所想到的定理是理所當然的，未能體現數學家在創作過程中斗爭、挫折以及數學家所經歷的艱難漫長的道路。相比北師大版，人教版在此有一個特色，也是人教版整套教材的特色，即在介紹數學家時附有數學家的頭像（本章附有畢達哥拉斯圖像），這樣能喚起學生對數學家及數學史的親近、肅穆之感。而北師大版在這方面就稍顯遜色，根據劉超的統計，在初中六本教材中人教版有五處附有數學家圖像，而北師大版僅有一處（并不是此章）。
四、對兩版本教材的思考
人教版在勾股定理及其逆定理的開始分別以數學家的故事和古埃及人得到直角的方法引入數學知識，而北師大版在及時、三節都是以實際問題情境引入數學內容的，但這兩處的情境都來源于數學歷史名題。兩版本在此對數學史用的都比較淺顯，沒有深挖史料背后隱藏的數學思想方法，數學史只是作為一個情景用來引出相關內容的。這只是數學史融入教學的初級階段，但我們并不能說這種融入方式是低級的或是不好的。一方面，初級階段是數學史融入教學，進入高級階段不可逾越的階段，具有重要意義，比如激發學習興趣、調動積極性；另一方面，教材的這種設計也體現了教材的靈活性和多樣性，便于教師對內容的重新加工。因此，對這兩種引入方式我們不可妄加斷言其好壞，唯獨希望各相關領域人員對數學思想、方法做認真的思考，對數學史料進行加工和創造，深挖史料背后隱含的價值，充分發揮數學史的作用和價值。
現代信息技術的發展使得計算機已經成為數學文化與數學教育現代化之間的橋梁。兩版本教材除了讓學生自己上網搜索相關內容外，并沒有涉及與信息技術有關的內容。“勾股定理”作為幾乎是全世界中學都要介紹的定理，其證明方法就有400多種，這些證法反映了東西方不同的文化。這應引起兩版本教材編寫者的重視，以便在教材修訂時注重相關數學史與信息技術的整合。
數學勾股定理論文:再探初中數學勾股定理
題目等腰直角三角形有上述性質，其他的直角三角形也有這個性質嗎？圖1中，每個小方格的面積均為1，請分別算出圖中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面積，看看能得出什么結論.(提示：以斜邊為邊長的正方形的面積，等于某個正方形的面積減去4個直角三角形的面積.)
探究勾股定理的發現S正方形A=22=4，S正方形B=32=9，
S正方形C=52-12×2×3×4=25-12=13，
所以S正方形A+S正方形B=S正方形C.
S正方形A′=32=9，S正方形B′=52=25，
S正方形C′=82-12×3×5×4=64-30=34，
所以S正方形A′+S正方形B′=S正方形C′.
由于正方形A，B(或A′，B′)的面積分別等于直角三角形的兩直角邊的平方，正方形C(或C′)的面積等于直角三角形的斜邊的平方，于是我們得出：
勾股定理直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
反思1為什么直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方？
探究勾股定理的證明在計算正方形C(或C′)的面積時，我們發現：正方形C(或C′)的面積等于大正方形的面積減去四個全等的直角三角形的面積，由此我們受到啟發.如圖2，若設直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，根據大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個直角三角形的面積，得(a+b)2=c2+12ab×4，整理，得a2+b2=c2.所以直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
說明上述證明勾股定理的方法用到的圖形，叫做“趙爽弦圖”.運用“趙爽弦圖”證明勾股定理，簡捷巧妙.為了開闊同學們的視野，下面再介紹一種利用全等三角形和面積的證明方法.
如圖2，以RtABC的兩直角邊AC，BC向外作正方形ACGF和正方形BCLK，以RtABC的斜邊向外作正方形ABED，過點C作CIDE，垂足為I，CI交AB于點H，則四邊形ADIH和HIEB都是矩形.
由AF=AC，AB=AD，∠FAC+∠CAB=∠DAB+∠CAB，即∠FAB=∠CAD，得FAB≌CAD，所以SFAB=SCAD.
而S正方形ACGF=2SFAB，S矩形ADIH=2SCAD，
所以S正方形ACGF=S矩形ADIH.
同理S正方形BCLK=S矩形HIEB.
所以S正方形ACGF+S正方形BCLK=S矩形ADIH+S矩形HIEB，
即S正方形ACGF+S正方形BCLK=S正方形ABED.
所以直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
探究勾股定理的拓展
由探究勾股定理的發現過程，我們不難得出：
拓展1以直角三角形的兩直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.
反思2如果分別以直角三角形的各邊為斜邊作等腰直角三角形，那么以兩直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積嗎？
探究設直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，
那么
以a為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12a?12a=14a2，
以b為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12b?12b=14b2，
以c為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12c?12c=14c2，
因為a2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2.
于是我們得出：
拓展2分別以直角三角形的各邊為斜邊作等腰直角三角形，那么以兩直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積.
說明如果能夠注意到等腰直角三角形正好是以它的斜邊為一邊的正方形的四分之一，運用拓展1的結論很容易得到拓展2.
下面請同學們運用拓展2的結論解決：
問題1已知：以RtABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若斜邊AB=3，則三個等腰直角三角形的面積和為.
提示：如果對等腰直角三角形的面積公式(用等腰直角三角形的斜邊表示)不熟悉，可先將每個等腰直角三角形補成正方形，這樣所求的面積就等于兩個等腰RtABE的面積，而兩個等腰RtABE的面積正好等于以AB為一邊的正方形的面積的一半，從而所求部分的面積=12×32=4.5.
反思3如果分別以直角三角形的各邊為邊向外作等邊三角形，那么以兩直角邊為邊的等邊三角形的面積和等于以斜邊為邊的等邊三角形的面積嗎？
問題2已知在RtABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值等于.
數學勾股定理論文:淺談勾股定理在初中數學中的應用
摘要：數學是一種邏輯性強、抽象性強的學科，在數學教學過程中，對于一些數學問題使用常規的解題方法往往過于繁瑣，而利用一些定理進行求解往往能夠達到事半功倍的效果。在初中數學當中，勾股定理便是一個非常重要的定理，將其充分利用能夠使諸多數學問題迎刃而解。本課題筆者結合實際教學案例從多方面對勾股定理在初中數學中的應用進行了探究，希望以此為初中數學教學的完善提供一些具有價值性的參考依據。
關鍵詞：初中數學 勾股定理 應用
1 引言
勾股定理是初中數學中非常重要的一個定理[1]。它很好地解釋了直角三角形中三條邊之間的數量關系，對于幾何學當中有關直角三角形的計算機證明問題，利用勾股定理往往能夠迎刃而解，使學生快速掌握解決方法。同時，在日常生活及工作當中，勾股定理的應用也非常廣泛。因此，在初中數學教學過程中，充分利用好勾股定理這一有效手段進行解題顯得尤為重要。筆者結合多年的教學經驗，利用勾股定理，對初中數學當中的“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實際問題”進行了分析與探究，希望以此能夠為初中數學教學提供有效依據。
2 勾股定理在線段問題中的應用
在初中數學中，一些“線段求長”問題使用常規方面解決常表現的較為棘手，而使用勾股定理往往能夠得以有效解決。
例題1：如圖1，在三角形ABC中，已知：∠ABC=90°，AB=BC，三角形的三個頂點分別位于相互平行的三條直接l1、l2、l3上，并且l1與l2之間的距離為2，l2，與l3之間的距離為3，求AC的長度。
解：過A作l3的垂線交l3于D，過C作l3的垂線交l3于E，由已知條件：∠ABC=90°，AB=BC，得：RtABD與RtBEC全等；
所以，AD=BE=3，DB=CE=5；
進而得：AB2=BC2=32+52=9+25=34；
在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2=68，
所以：AC=2■
3 勾股定理在求角問題中的應用
在初中數學當中，有些求角問題使用常規方法難以解決，而使用勾股定理則能夠很快地解決。因此，將在求角問題中充分應用勾股定理便有著實質性的作用[2]。
例題2：如圖2，在等邊ABC中，有一點P，已知PA、PB、PC分別等于3、4、5，試問∠APB等于多少度？
解：把APC繞著點A旋轉，旋轉至ABQ，讓AB和AC能夠重合；此時，AP=AQ=3，BQ=PC=5，，∠PAQ=∠BAC=60°；
所以，PAQ是等邊三角形；
所以，PQ=3；
在三角形PBQ當中，PB、BQ分別等于4、5，
所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ=90°；
所以，∠APB=∠BPQ +∠APQ=90°+60°=150°。
4 勾股定理在證明垂直問題中的應用
在初中數學當中，一些證明垂直的問題如果利用勾股定理進行求解，那么將能夠達到事半功倍的效果。下面筆者結合有關證明垂直問題的題型展開討論。
例題3：如圖3所示，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，ABAD，證明：BCBD[3]。
證明：由已知條件ABAD可知，在三角形ABD中，∠BAD=90°；
因為AD、AB分別為3、4，由勾股定理可知：BD2=AB2+AD2=32+42，求得：BD=5，
又因為BD2+BC2=52+122=132=CD2；
因此，三角形DBC為直角三角形，其中∠CBD=90°；
所以，BCBD。
5 勾股定理在實際問題中的應用
對于勾股定理，還能夠解決實際問題，并且這些實際問題都是在日常生活中可以看到的。
例題4：一棵小樹高為4米，現有小鳥A停留在樹梢上，此時小鳥B停留在高20米的一棵大樹樹梢上發出友好的叫聲，已知大樹與小樹的距離為12米，如果小鳥A以4m/s的速度飛往大樹樹梢，試問：小鳥A至少需要多長時間才能夠與小鳥B在一起？
解：如圖4，根據題干的已知條件可知，AC=16m，BC=12m，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=162+122，求得AB=20m；
所以，小鳥A所需時間為20/4=5秒。
筆者認為，利用勾股定理解決實際問題，需要弄清題意，進而對題目中所涉及的直角三角形找出來，然后結合勾股定理進行求解[4]。在例題4中，最主要的步驟便是依照題意，結合勾股定理，然后畫出大樹與小樹之間的直角三角形，在充分利用已知條件的基礎上，便能夠使問題有效解決。
6 結語
通過本課題的探究，認識到在初中數學中，對于許多問題可以利用勾股定理進行求解。包括“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實際問題”等。筆者認為，勾股定理在幾何學當中占有非常重要的地位，它不僅僅只是一種解決數學問題的定理那么簡單，它還與我們的日常生活息息相關。在數學教學過程中，學習勾股定理進行解題，不但能夠提高學生解題的效率，而且還能夠讓學生對生活引發思考，從而在學習數學過程中，體會到生活與數學學科的密切聯系，進一步為數學在生活中的實際應用奠定良機。
數學勾股定理論文:基于數學史的勾股定理教學探究
[摘 要] 數學史對于數學教育的意義不言而喻，它對于踐行新課改的知識與技能、過程與方法以及情感態度價值觀的三維目標，倡導學生自主探究學習的教學模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教學為例，探討了上述問題.
[關鍵詞] 數學史；勾股定理；教育價值
數學史對于數學教育的價值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數學教育類雜志可以發現，越來越多的中小學數學教師也在撰文闡述自己在教學中使用數學史的一些體會和教學案例. 在課程改革不斷深入的當下，數學史融入數學教學對于踐行課改的理念，培養發展有理想、有道德的高素質數學人才等方面確實有著積極的推進作用. 本文將給出一個基于數學史的勾股定理教學設計思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強自身數學史修養的同時，開發出更多基于數學史的教學案例.
提出問題
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數學家畢達哥拉斯及其徒眾發現的，后人更渲染其事，說畢達哥拉斯諸人十分重視這項發現，特地宰了一百頭牛向天神奉獻答謝，所以中世紀時這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時代、不同地區都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數學家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經典之作《幾何原本》，其中一個定理就是畢達哥拉斯定理：
“在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”
接下來的這個定理是畢達哥拉斯定理的逆定理：
“如果在一個三角形中，一邊上的正方形等于這個三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”
這兩個定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.
我國是最早發現勾股定理的國家，據《周髀算經》記載，我國數學家早在公元前1120年就對勾股定理有了明確認識. 勾股定理從發現到現在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達哥拉斯定理，但它的發現時間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數量關系聯系在一起，體現了數形結合思想.
定理的證明
在新課程人教版教材（八年級下冊）中，先是引用畢達哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數學家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內作四個相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據“出入相補原理”，根據“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲，正因如此，這個圖案被選為2002年北京召開的國際數學家大會會徽.
[圖1]
引導學生探索其他解法
上述是我國古代數學家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據面積相等實現定理的證明. 教師可以提示學生圍繞這一觀點，探索其他證明方法，學生提供的證法有可能和歷史上大數學家的證法一致.
歷史上的經典證明方法展示
發現勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個文明古國都相繼發現和研究過這個定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統計，現在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數學思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達哥拉斯的證法；（7）旋轉證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.
基于上述分析，不難發現，歷史上的勾股定理證明方法很多，據統計，有400多種，向學生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優劣，而是為了豐富教與學的內容知識，這也是數學史融入數學教學重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學生在教與學上有所比較，以達到取長補短. 通過分析各種證法之不同，可以發現他們各自對于圖形的依賴程度也不相同. 當我們試圖理解某個版本的證法時，就好比與這位數學家進行對話，從而產生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認識到該如何呈現定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向. 在教學中，若以歷史文本為師，適時引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯誤，相信對于數學思想的發展與學生的學習過程能有更貼近的牟合，也能讓學生對數學有更的觀照. ，基于數學史數學教學所追求的目標之一，正是讓學生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學習的樂趣，因此，數學歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發掘才可能使我們滿載而歸.
問題的推廣
下面我們換個角度看勾股定理，定理會變成什么樣呢？
推廣一：勾股定理的不同表述方式
（1）直角三角形斜邊長度的平方等于兩個直角邊長度的平方之和.
（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個正方形.
（3）直角三角形直角邊上兩個正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.
推廣二：“出入相補”原理的應用
所謂“出入相補”原理，是指一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進行的，只是圖形的分合移補略有不同而已. “出入相補”原理是我國古代數學家發明的一個證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過比較兩個證明來說明某些問題.
趙爽和達?芬奇的證明方法（如圖2所示）：
[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]
問題：這兩種方法的聯系是什么？
解答：如圖3所示.
[圖3：兩種證明的聯系]
可以看出，趙爽和達?芬奇對勾股定理的證明都使用了“出入相補”原理. 這兩種來自不同時期、不同地域的方法背后有著更本質的聯系，正因為這種本質聯系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數學內部的一種聯系. 正如韋爾斯在《數學與聯想》一書中所說的：“這就是為什么數學強有力的一個理由. 數學家發現，兩個表面不同的問題實際上是相同的，因此他只要解決一個也就解決了另一個. 認識到一百萬個問題‘實質上’都是相同的，因此，你只要解決一個就解決了一百萬個. 事實上，這就是力量！”我們的數學讀本，應該多多向學生介紹這方面的內容，讓學生感受這種力量，去認識事物之間的聯系.
推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形
若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對應的兩個相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.
[圖4]
推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形
若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級下冊）在習題中體現了這一推廣：（習題18.1“拓展探索”問題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個半圓之間有什么關系？
[圖5][2][1]
若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個身，此時顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實這個結論早在公元前479年就已經由古希臘數學家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級下冊）在習題中體現了這一推廣（習題18.1“拓展探索”問題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.
推廣五：勾股定理與費馬大定理
勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術》（第2卷問題8）中有一個與勾股定理類似的問題：將一個已知的平方數分為兩個平方數. 丟番圖在《算術》中以實例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨獨提到丟番圖的這一問題，是因為，大約16個世紀以后，正是在這一問題的啟發下，費馬在其旁白處寫下了一段邊注，從而誕生了一個讓整個數學界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術》時，做了如下批注：“不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和. 我已找到了一個奇妙的證明，但書邊太窄，寫不下. ”1670年，費馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版，遂使費馬這一猜想公之于世. 費馬究竟有沒有找到證明已成為數學史上的千古之謎. 從那時起，為了“補出”這條定理的證明，數學家們花費了三個多世紀的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.
推廣六：勾股數
不言而喻，所謂勾股數，是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數呢，方法如下.
1. 任取兩個正整數m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構成一組勾股數.
2. 若勾股數組中的某一個數已經確定，可用如下方法確定另兩個數：首先觀察已知數是奇數還是偶數.
（1）若已知數是大于1的奇數，把它平方后拆成相鄰的兩個整數，那么奇數與這兩個整數構成一組勾股數.
（2）若已知數是大于2的偶數，把它除以2后再平方，然后把這個平方數分別減1和加1所得的兩個整數與這個偶數構成一組勾股數.
練習題：限于篇幅，僅列一題.
練習題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問索長幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）
現代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺，現在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時繩索與木的距離為8尺，問這條繩索的長為多少？
原書“術”曰：“以去本自乘，另如委數兒一，所得加委地數而半之，即索長.”
歷史上涉及勾股定理應用的古算題很多，在學習勾股定理的同時，如果能盡可能多地向學生呈現這些古算題，會使我們的教學起到事半功倍之效. 向學生呈現古算題原題，學生首先會接受很多那個時代的社會、人文信息，包括古算題涉及的真實情景、古算題的出處、涉及的數學家等. 學生還要將文言文翻譯成現代白話文，然后去理解題意，考慮其解題方法. 接著給學生呈現古人解決此類問題的“術”，又會使學生感受到他們的解法與歷史上的解法其實有異曲同工之妙. 在這個過程中，新課程所涉及的“知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀”三維目標可以自然地達成. 誠然，教師在這個過程中需要適時地進行引導和點撥，它要求教師具備一定的數學史知識和修養.
結語：數學史在數學教育中的作用不言而喻，亟須一線教師開發出更多的教案和案例. 數學史對于數學教育的重要指導和引領作用，正如我國老一輩數學教育家、珠算算具改革先驅的余介石先生所說：“歷史之于數學，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學高山仰止之恩，收聞風興起之效，更可指示基本概念之有機發展情形，與夫心理及邏輯順序，如何得以融合調劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也”.
數學勾股定理論文:勾股定理教學中數學史的融入
【摘 要】勾股定理是數學歷史上最為古老的定理，也是初中數學中的一個非常重要的定理，其相關歷史在《數學》書中以引入、例題、作業題、閱讀材料等多種形式體現，為數學史融入課堂教學奠定了基礎，使教學方式和處理方法更加靈活多樣.鑒于此，本文以“勾股定理”的教學為例，結合自己教學實踐和學習思考，闡述數學教學中勾股定理歷史的融入.
【關鍵詞】數學史；勾股定理歷史；融入；教學策略
1.勾股定理歷史融入教學的意義
1.1 有利于激發興趣，培養探索精神
勾股定理的證明是一個難點.在數學教學中適時引入數學史中引人入勝和富有啟發意義的歷史話題或趣聞軼事，消除學生對數學的恐懼感，可使學生明白數學并不是一門枯燥無味的學科，而是一門不斷發展的生動有趣的學科，從而激發起學生學習數學的興趣.
1.2 有利于培養人文精神，加強歷史熏陶
學習數學史可以對學生進行愛國主義教育.浙教版新教材對我國勾股定理數學史提得很少，其實中國古代數學家對于勾股定理發現和證明在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，尤其是其中體現出來的數形結合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學的策略
在勾股定理教學的過程中，要求我們在教學活動中，注意結合教學實際和學生的經驗，依據一定的目的，對勾股定理歷史資源進行有效的選擇、組合、改造與創造性的加工，使學生容易接受、樂于接受，并能從中得到啟發.在實踐過程中，發現以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創設中融入勾股定理歷史
建構主義的學習理論強調情景創設要盡可能的真實，數學史總歸是真實的.情景創設可以充分考慮數學知識產生的背景和發展歷史，以數學史作為素材創設問題情景，不僅有助于數學知識的學習，也是對學生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道！（眾笑）
師：要我說，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發射了許多信號：如語言、聲音、各種圖形等.我國數學家華羅庚曾經建議向宇宙發射勾股定理的圖形，并說：如果宇宙人是文明人，他們一定會認識這種“語言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說，禹是世界上有文字記載的及時位與勾股定理有關的人.中國古代數學著作《周髀算經》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個直角三角形，這形亦稱曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長度為三；另一邊名叫[股]，長度為四；斜邊名叫[弦]，長度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長……
《周髀算經》卷上還記載西周開國時期周公與商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三，股修四，經偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開方除之，得邪至日.”
由此看來，《周髀算經》中已經利用了勾股定理來量地測天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，所以他就把這個定理稱為"畢達哥拉斯定理"，以后就流傳開了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數學史不僅給出了確定的知識，還可以給出知識的創造過程，對這種過程的再現，不僅能使學生體會到數學家的思維過程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學不再是單純地傳授知識的過程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補”原理證明了勾股定理，“出入相補”見于劉徽為《九章算術》勾股數──“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補成弦方，劉徽未具體提示，學界比較常見的推測是如下圖.
③剪拼法（學生動手驗證）
證明方法之特征：數形結合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數學問題趣味化.
翻開古今的數學史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠，所有的數學知識都蘊涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓.將數學史的知識融入數學教學中，發揮數學史料的功能，是數學教育改革的一項有力的措施.正象法國數學家包羅·朗之萬所說：“在數學教學中，加入歷史具有百利而無一弊.”
