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篇1
一、把握公式規律，巧記公式
對三角公式的準確、熟練記憶是進行三角變換的前提，但是三角公式繁多：同角三角函數的基本關系式（8個）、誘導公式（36個）、兩角和與差的三角函數公式（6個）、二倍角公式（5個），再加上各組公式的變形，總共有60多個公式。如何才能保證記憶時不出現錯誤呢？這就要求學生在記憶時不要死記硬背，而是要把握其中的規律，巧記公式。下面，介紹各組公式的記憶方法。
1. 同角三角函數的基本關系式
這組公式常稱“三類八式”，即這八個公式分為三大類：平方關系、商數關系和倒數關系。八個公式可畫一個六邊形來記憶。
記法：①在最長對角線上的兩個三角函數的乘積為1。如：tanα?cotα=1；②在3個倒三角形中，上面兩個頂點的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方（中心點為1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一頂點上的三角函數值等于與之相鄰的兩個頂點的三角函數值的乘積。如：sinα=tanα?cosα.
2. 誘導公式
誘導公式看似很多，其實可以概括為一句口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。誘導公式左邊的角可統一寫成k?±α(k∈Z)的形式，當為奇數時，等號右邊的三角函數名稱與左邊的三角函數名稱正余互變，當k為偶數時，等號右邊的三角函數名稱與左邊一樣；而公式右邊的三角函數之前的符號，則把α當做銳角，k?±α為第幾象限，以及左邊的三角函數之前的符號即為公式右邊的符號。
3. 兩角和與差的三角函數公式
這6個公式可分為三組，故可分為三組來記憶。每一組的特征都很明顯：兩角和（差）的余弦：余余、正正、符號異；兩角和（差）的正弦：正余、余正、符號同；兩角和（差）的正切：分子同，分母異。
4. 二倍角公式
其實，二倍角公式是兩角和的三角函數公式當兩角相等時的特殊情況。把握住這點，記住兩角和的三角函數公式，二倍角公式自然就記住了。有規律有方法地巧記公式，有事半功倍的效果。
二、總結題型規律，活用公式
記 住了三角公式，如果不了解三角變換的提醒規律，也很難去用公式解題。三角變換題目雖然很多，但是也是有規律可循的，大致可以分為以下幾類。
1. 角的變換
進行角的變換常用的公式有誘導公式、兩角和（差）公式和二倍角公式。因此，題目當中需要化角時就要想到用這些公式，而不是往別的公式上去套。例1：已知α、β為銳角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此題就需要用到角的變換β=(α+β)-α，然后兩邊取正弦，右邊用兩角差的正弦公式展開即可。
2. 函數名稱的變換
一般是切割化弦或弦化切割，常用公式為同角三角關系式中的倒數關系式和商數關系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求關于正余弦的值，很顯然只能采用公式tanα=。
3. 常數變換
在三角變換中，有時需要將常數化為三角函數值，比較常見的是“1的變換”，常見的變形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-
sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，則+的化簡結果為( )。解析：巧用常數1的變換：1=sin2α+cos2α，則1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再結合角的范圍開方即可。
4. 冪的變換
降冪是三角函數變換時常用的方法，對次數較高的三角函數公式一般采用降冪處理方法，常用的降冪公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函數平方關系式，降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式常用升冪處理變成有理式。例4：化簡cos8x-sin8x+ sin2x?sin4x。解析：本題中三角函數的次數較高，需要從降冪入手進行化簡，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。
總之，三角變換題目比較靈活，其解法也千變萬化，沒有固定的、唯一的解法。所以，在解題時，應根據題目的特點確定解題方法和變換技巧，再選擇有關公式，千萬不能對公式生搬硬套。如果在學習過程中多歸納、多總結，注意分析題目的結構及發現其規律，則可以結合所學的知識迎刃而解了。
參考文獻：
篇2
掌握三角函數的基本公式是最重要的，同學們在學習過程中，由于隨著學習的深入，前面的公式掌握得不夠牢靠，導致了后邊的學習跟不上，這就是由于三角函數最基礎的公式掌握不夠造成的.如何彌補這個缺陷，最重要的還是要牢記公式，沒有別的辦法，只有熟記公式，才能在以后的深入學習中不至于被動.
倍角公式、半角公式、和差化積公式以及積化和差公式，是需要花時間和精力去掌握的，并且要經常練習，才可以達到運用比較熟練的地步.
二、掌握基本的解題規律
三角函數的題目有其基本的解題思路和過程，要掌握這些基本的方法，在高考中，三角函數的題目也無非就是這些內容，不會偏離了這些基本的解題思路.對于題目，首先應該觀察題目的基本敘述，了解清楚后，看適合于哪類三角函數的公式進行解題，在解題過程中，對于自己運用公式的熟悉程度是一種考驗，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解；在最值問題和周期問題中，解題思路是合理運用基本公式將表達式轉化為由一個三角函數表達的形式求解.
對于常用的解題方法要熟練掌握，如數形結合法、代入檢驗法、特殊值法、待定系數法、排除法等.通過對這些方法的研究，使得學生不僅掌握這些方法，而且能夠舉一反三，同時，在應用這些方法應用時，可以做到綜合的運用，而不是單一的、片面的掌握.
舉例來說，學習某個函數肯定是先學習定義，而定義一般是用函數式來定義的，并且定義式中的參數一般會有一定的限制，如一次函數y=ax+b，a不為0.定義域優先應該說所有的老師都明白，但是應用的時候就可能會忘記.事實上在方程與不等式的研究中也應該有“定義域”優先的原則，缺少了定義域就不是完整的函數的定義了.而函數的值域是由解析式與定義域唯一確定的，所以一般不寫，但它是研究的重點，研究的方法也非常多，并且不同的函數研究的方法不一樣.
三、比較法的學習
通過對函數的定義域、值域、奇偶性、周期性、圖像變換等的理解和掌握，把握三角函數的這些基本性質，與其他函數進行比較，以達到比較法的學習.函數的概念、性質的相同、相似點以及它們之間的差異會給學生在學習中留下較深的印象.通過比較法的學習，會加深對三角函數的理解和應用.
三角函數具有自身的特點，要從兩個方面加以注意：一是三角函數的圖像及性質.函數圖像是函數的一種直觀表示方法，它能形象地反映函數的各類基本性質，因此對三個基本三角函數的圖像要掌握，它能幫助你記憶三角函數的性質.此外還要弄清y=Asin（ωx+φ）的圖像與y=sinx圖像的關系，掌握“A”“ω”“φ”的確切含義.對于三角函數的性質，要緊扣定義，從定義出發，導出各三角函數的定義域、值域、符號、最值、單調區間、周期性及奇偶性等.二是三角函數式的變換.三角函數式的變換涉及的公式較多，掌握這些公式要做到如下幾點：一要把握各自的結構特征，由特征促記憶，由特征促聯想，由特征促應用；二要從這些公式的導出過程抓內在聯系，抓變化規律，這樣才能在選擇公式時靈活準確.同時還要善于觀察三角函數式在代數結構、函數名稱、角的形式等三個方面的差異，根據差異選擇公式，根據差異確定變換方向和變換方法.
四、有條理的歸納總結
篇3
一、知識性錯誤
數學中的知識性錯誤是指由于對有關所學的概念理解不清，對概念、性質混淆不清等，從而導致的錯誤.
（一）概念理解不清
致錯分析 以上錯解的原因是沒有考慮函數的定義域，因為函數f（x）的定義域為x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .
二、邏輯性錯誤
由于我們認知結構的不完善，所以在數學解題中就很容易出現邏輯性的錯誤.邏輯性錯誤指的是我們在解題的過程中由于違背了邏輯思維的規律而產生的錯誤.邏輯思維的規律，即邏輯規律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常見的邏輯性錯誤的類別一般為循環論證、偷換概念、虛假理由、分類不當和不等價變換這五種.在高中數學三角函數的學習中，一般會出現的邏輯性錯誤有分類不當、循環論證和不等價變換這三種.
（一）循環論證
論題、論據和論證是構成任何數學問題的三大要素，其中論題指的是為了真實性而需要的那個命題，論據指的是為了證明論題的真實性所需要依據的真命題，論證指的是聯系起了論題和論據的具體的推理形式.只有真實的論據才能論證出論題的真假，但是論據的真實性不能不依賴于論題的真實.循環論證指的就是論據的真實性需要依賴論題的真實性的一種論證.
致錯分析 上述解法看上去好像是正確的，其實已經犯了循環論證的錯誤，錯在沒有利用題設條件進一步縮小α-β的范圍，產生了增根.
事實上，同理可得：.
（二）不等價變換
不等價變換是屬于邏輯錯誤中的違反同一律原則的錯誤.在解題過程中，對命題進行不等價的變換，常常會出現解集的縮小或者是擴大.
三、策略性錯誤
在數學解題過程中的策略性錯誤主要指的是在解題方向上有偏差.這樣的錯誤往往會導致解題的思路受阻而無法完成解題過程，或者解題思路過于曲折而即使做對了也非常費時費力.
（一）不善于正難則反
我們在解題的過程中一般都會習慣于從正面去思考問題，而并不去做反面的思考.但是有時候從正面來解決一個問題是非常艱難或者復雜的，甚至常常會容易出錯.這就要求我們在解題的時候要靈活運用方法，當正面解題比較艱難的時候可以從反面進行思考.
例5 函數y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.
錯解 將原函數變形為：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，則y=（t-a）2+a，當t=a時，ymin=a，a=3.
致錯分析 三角函數中通過換元便隱去了三角函數的特性，三角函數的定義域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，當a=3時，t=3，即sinx =3顯然不符合題意.事實上，換元后，問題轉化為二次函數y=f（t）=（t-a）2+a在閉區間[-1，1]上的最小值問題.
正解 （1）當a
（2）當-1≤a≤1時，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合題意，舍去；
（3）當a>1時，由ymin=f（1）=3，得a=2.
綜合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.
（二）審題出現主觀臆斷
篇4
三角函數是高中數學新課程中的重要內容，在這些內容中強調了三角函數作為函數的作用，強調了三角函數是刻畫周期現象的基本模型等，這是數學課程發展中的一個變化.雖然高中數學新課程已對一些內容降低了要求，但很多學生同樣不適應，不能很好地理解與掌握。高考試題中的三角函數題相對比較傳統，位置靠前，通常以簡單題形式出現。因此，在學習、復習過程中要特別注重三角知識的基礎性，突出三角函數的圖象及其變換、周期性、單調性、奇偶性、對稱性等性質，以及化簡、求值和最值等重點內容的學習，要求學生熟練記憶和應用三角公式及其恒等變形，同時要注重三角知識的工具性.對此本人從幾個方面加以闡述，希望能夠幫助學生認識“三角函數”在數學中的地位，能較為全面地把握“三角函數”知識脈絡，學好三角函數知識，提高綜合能力.
一、解決角的問題是學好三角函數的前提
（一）解決好特殊角的三角函數值的求法
在初中，學生對0°～90°之間的特殊角（30°、45°、60°）的三角函數值已了如指掌，但到了高中，隨著角度的擴展，求與特殊角有關的角的三角函數值也隨之增多，如對120°、135°、330°、―30°等角的三角函數值的求法開始出現了混亂。如何解決這一問題呢？通過學習誘導公式，學生明白了求這一類角的三角函數值，看似眾多，其實都與0°、30°、45°、60°、90°的三角函數值有關，且只有符號的異同。因此幫助學生弄清誘導公式所概括的“奇變偶不變，符號看象限”這一規律，計算這一類角的三角函數值的問題也就迎刃而解。
（二）解決好角與角之間的關系
在三角函數中，如例1：已知，cos（α+β）=-■，sinα=■，求cosβ.
相當多的學生直觀地把cos（α+β）化為cosα+cosβ-sinαsinβ用于計算，造成運算煩瑣或無功而返。究其原因是缺乏整體思想，沒有注意到對角的關系進行觀察、分析。事實上若清楚β=（α+β）-α，則問題迎刃而解。又如：
例2.已知cos（■-α）=■，■-α是第一象限角，求■的值.
本例的解法很多，學生若能發現（■-α）與（■+α）的關系及（■-α）與（■-2α）的關系，本例就好解了。因此在教學中，幫助學生樹立整體思想，引導學生注意觀察、分析、比較。（如：角與角之間的和差倍半關系，互補、互余關系等）總結基本的方法、規律，提高解決問題的能力。
（三）解決好隱含條件的問題
解題是數學學習中的一個主要環節，它的一般過程是：問題條件知識方法結果，可見尋找問題條件是解題的第一步.可是在一些數學題中，它的某些條件較為隱蔽，需要經過反復推敲，剖析題意.挖掘題設隱含條件，所謂隱含條件，是指題中若明若暗、含蓄不露的條件，它們常常巧妙地隱蔽在題設的背后，不易被人們所覺察，或者極易被人忽視，而直接制約整個解題過程，三角函數在許多方面如定義、公式、三角函數值，條件等式中都存在著隱含條件。在解三角函數題時，常因未能發掘其隱含條件造成一開始解題就無法進行，或者解到某一個階段而陷入困境，或者造成解題失誤。
例3.設ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，cos（A-C）+cosB=■，b2=ac，求B.
學生通過公式的變換及運算得sin2B=■，sinB=■或sinB=-■（舍去），于是B=■或B=■.這樣的解法存在錯誤，其實在條件中cos（A-C）+cosB=■隱含著cosB>0的條件，即B為銳角。或由b2=ac知b≤a或b≤c得B為銳角。所以引導學生多觀察條件，從中找出隱含條件，以免造成解題失誤。
二、熟記，靈活運用公式是學好三角函數的基礎
（一）熟練掌握三角變換的公式
很多學生剛開始學習三角函數時，因為三角函數的公式太多，而造成混亂。其實公式之間也有一定的內在聯系，比如誘導公式sin（■±α）（k∈z）中，只需把“α”看成銳角，畫出■的終邊表示在X軸正半軸、X軸負半軸、Y軸正半軸、Y軸負半軸中的哪一個，終邊在X軸上則函數名不變，終邊在Y軸函數名改變；終邊再按順時針還是逆時針轉一個銳角定象限，確定函數符號。掌握了誘導公式以后，就可以把任意角的三角函數化為0°～90°間角的三角函數。又如：以兩角和的余弦公式為基礎推導得出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握這些公式的內在聯系及推導的線索，能夠幫助我們理解和記憶這些公式；同角三角函數的基本關系式是進行三角變換的重要基礎之一，它們在化簡三角函數式和證明三角恒等式等問題中要經常用到，必須熟記，并能熟練運用. 這也是學好本單元知識的關鍵.
（二）靈活運用三角公式
熟練掌握三角變換的所有公式理解每個公式的意義，特征；熟悉三角變換常用的方法――化弦法、降冪法、角的變換法等；并能應用這些方法進行三角函數式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應用的特點，并能結合三角形中的有關公式解決一些實際問題.
1.運用化弦（切）法：
例5：已知tanα=■，求：f（α）=-2cos2α-■sin2α+2的值。
把-2cos2α-■sin2α+2除以1得■，化為■，再弦化切。本題就好解了。
2.運用增減倍與升降冪法：在運用公式化簡三角函數時，引導學生根據具體問題分析采用增倍還是減倍，升冪還是降冪。
例6：設函數f（x）=2sinxcos2■+cosxsinφ-sinx（0
解：f（x）=2sinx?■+cosxsinφ-sinx=sinx+sinxcos φ+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）
因為函數f（x）在x=π處取最小值，所以sin（x+φ）=-1，由誘導公式知sinφ=1，因為0
例7：已知函數f（x）=sin2x+■sinxcosx+2cos2x，x∈R.求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；其中sinxcosx可轉化為sin2x，所以將sin2x、cos2x降冪同時把角轉化二倍角。
3.運用輔助角及常用模式的轉換法。在三角函數中除了運用課本內的公式外，還利用類似輔助角公式asinθ+bcosθ=■sin（θ+φ）進行解題。（這里輔助角φ所在象限由a、b的符號確定，φ角的值由tanφ=■確定。）而且在實際解題中，這一類問題大部分集中在sinα±cosα=■sin（α±■）和■sinα±cosα=2sin（α±■）和等常用模式的轉化。
如上例7函數化簡為：
篇5
一、三角函數的恒等變形
在高中數學三角函數教學過程中，恒等變形是教學難點，也是教學重點。教師在講解恒等變形時，要注重把握其教學要點，并明確三角函數恒等變形的應用。首先應該建構三角函數恒等變形的知識網絡，確保學生明確三角函數的求值類型。在三角函數求值中，不同類型的求值方式不同，教師應該注重把握不同類型求值方式的異同，如“給角求值”“給值求值”等。教師還要注重把握恒等變形在具體運用過程中的注意事項，只有這樣才能讓學生真正學會三角函數的恒等變形。無論是簡化三角函數的角度，還是證明不同角度之間的關聯性，都應該在教學過程中注重把握角度的差異與聯系，注重把握函數名稱間的變換和聯系，如升降冪，化切為弦等常用手段。
在這樣的三角函數恒等變形的教學過程中，教師要引導學生仔細地分析題目，選擇三角函數恒等變形中最合適、最直接的方法。在這類型題目中，切化弦是比較直接的方式，通過切化弦，能夠將復雜的題目快速地轉化為簡單的題目，快速地進行題目解析，更有利于學生理解與把握題目。可見，在教學過程中，教師要注重把握三角函數恒等變形的重點，特別是讓學生把握不同角度之間的關聯，注重不同角度的差異，幫助學生理解三角函數的恒等變形。
二、三角函數的圖象和形式
相比低年級數學，高中數學難度有所提升，教學側重點也發生了轉變。為了有效地幫助學生理解三角函數，教師要充分依托三角函數的性質、三角函數不同角度的差異，將抽象的內容形象化，通過數形轉化來提升教學的質量，快速地幫助學生架構起理解的橋梁，只有這樣才能真正幫助學生理解三角函數。
1.三角函數的區間
在高中數學教學過程中，三角函數的區間是三角函數的重要性質，是三角函數的重要內容。在把握三角函數的區間時，要注重引導學生理解與把握三角函數的遞增或遞減區間，明確不同區間的單調性，把握不同區間的遞增方向，幫助學生更好地理解三角函數遞增或遞減的性質。不同三角函數的單調區間是不同的，很多學生在理解與把握的過程中，難免會混淆，這就要求教師要注重運用圖形的方式來幫助學生形象化地理解不同三角函數的單調區間及區域。
2.三角函數的圖象變換
三角函數的圖象變換往往是基于y=sinx演變而來的，在此基礎上衍生出了很多多樣化的圖象。所以在教學過程中，教師要注重引導學生扎實地理解與把握y=sinx等基本函數的特點，找準演變的規律，從而更好地了解三角函數。如在y=sinx的基礎上，演變出來的新圖象y=sin（ωx+φ），這是圖象在值域或區間上的變化，在圖象變化的過程中，往往存在兩種典型的途徑，不過這兩種不同的途徑在變化過程中方式不同，教師要引導學生注重把握其不同。
篇6
（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧長l及該弧所在的弓形面積.
（2）若扇形周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
（3）若將該扇形的圓心放在坐標原點，使角α的始邊與x軸重合，已知角α的終邊上一點P的坐標為（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.
（4）若α=60°，求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ
【思路點撥】 （1）可直接使用弧長公式計算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧長或半徑來表達出扇形的面積，弓形面積由扇形面積與三角形面積的差組成，然后確定其最大值.（3）利用三角函數的定義求解，注意對y的討論.（4）利用終邊相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.
【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.
S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.
（2）由題意得l+2R=20，l=20-2R（0
S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.
當且僅當R=5時，S有最大值25（cm）2.
此時l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.
當α=2rad時，扇形面積取最大值.
（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.
所以當y=5時，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，
當y=-5時，cosα=-614，tanα=1513.
（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到適合-720°≤θ
60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.
【歸納總結】 扇形的面積與弧長的計算在幾何中應用較多，都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，應注意角度制與弧度制不能混用.合理利用圓心角所在的三角形，合理選擇參數，運用函數思想、轉化思想，解決扇形中的有關最值問題.利用定義法求三角函數值需要已知或設角α終邊上一異于原點的點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數的定義求解.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需角.
【變式訓練1】
（1）已知角α的終邊在直線y=-3x上，則10sinα+3×11cosα=.
（2）不借助計算器的情況下，證明：sin20°
考點二、三角函數的同角公式及誘導公式
【考點解讀】 求值題主要考查同角三角函數的基本關系式、誘導公式的應用，利用三角公式進行恒等變形的技能.題型多為選擇題或填空題.六組誘導公式可統一記為“奇變偶不變，符號看象限”.利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角三角函數為銳角三角函數，其原則：負化正、大化小、化到銳角為終了.切弦互化的技巧必須靈活掌握.
例2（1）設θ為第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，則sinθ+cosθ=.
（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由.
【思路點撥】 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再聯想平方關系式，解題突破口就是求解關于“sinθ，cosθ”的方程組.（2）要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個三角函數值，解決本題的關鍵是由兩個等式，消去α或β得出關于β或α的同名三角函數值.
【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，
即3sinθ=-cosθ
sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.
sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.
（2）假設存在α，β使得等式成立，即有
sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①
3cos（-α）=-2cos（π+β）1②
由誘導公式得sinα=2sinβ1③
3cosα=2cosβ1④
③2+④2得
sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，
又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，
將α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.
將α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.
綜上可知，存在α=π14，β=π16滿足條件.
【歸納總結】 （1）對于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求.轉化的公式為（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）關于sinθ，cosθ的齊次式，往往化為關于tanθ的式子.已知角α的三角函數值求角α的一般步驟是：①由三角函數值的符號確定角α所在的象限；②據角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達式.
【變式訓練2】
若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.
考點三、三角函數的圖象和性質
【考點解讀】 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，理解這三種函數的性質（如周期性、單調性、奇偶性、最大值和最小值、對稱中心和對稱軸等），函數的單調性是相對于某一區間而言的，研究其單調性必須在定義域內進行.
例3（1）求函數y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定義域；
（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及單調區間；
（3）求函數y=3cosx-3sinx的值域.
【思路點撥】 （1）求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式（組），常借助三角函數線或三角函數圖象來求解.（2）先化為：y=-3tan（x14-π16），再求單調區間.（3）先將原函數式進行等價變形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自變量的取值變化.
【解析】 （1）要使函數有意義，則
2sinx-1>0
-tanx-1≥0
cos（x12+π18）≠0sinx>112
tanx≤-1
x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），
如圖利用單位圓得：
2kπ+π16
kπ+π12
x≠2kπ+3π14（k∈Z），
函數的定義域為：{x|2kπ+π12
（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），
T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期為4π.
由kπ-π12
3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞增，
y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞減.
（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），
|cos（x+π16）|≤1，該函數值域為[-23，23].
【歸納總結】 （1）求三角函數的定義域，既要注意一般函數定義域的規律，又要注意三角函數的特性，如題中出現tanx，則一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函數的定義域通常使用三角函數線、三角函數圖象和數軸.（2）對于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ為常數），其周期T=π1|ω|，單調區間利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范圍，即為其單調區間.（3）將原函數式化為一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化為關于sinx（或cosx）的二次函數式，切忌忽視函數的定義域.
【變式訓練3】
已知函數f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，
（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函數f（x）單調遞增區間.
考點四、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數模型的簡單應用【考點解讀】 該考點是高考的必考點.理解函數y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意義及其對函數圖象變化的影響.能根據所給三角函數的圖象和性質確定其中的參數，并能由一個三角函數的圖象通過平移變換、伸縮變換、振幅變換和對稱變換得到另一個三角函數的圖象.利用三角函數的解析式可研究三角函數的性質和圖象.會用三角函數解決一些簡單實際的問題.
例4已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0
（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；
（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數列？若存在，請確定x0的個數；若不存在，說明理由.
【思路點撥】 （1）根據題目給出的周期和對稱中心求得函數f（x）的解析式，利用函數圖象的平移和伸縮的變換規律逐步得到g（x）；（2）將等差數列問題轉化為方程在指定區間內是否有解的問題，再構造函數，利用函數的單調性確定零點的個數.
【解析】 （1）由函數f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω>0，得ω=2，
又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（π14，0），φ∈（0，π），
故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.
將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移π12個單位長度后得到函數g（x）=sinx.
（2）當x∈（π16，π14）時，112
所以sinx>cos2x>sinxcos2x，
問題轉化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）內是否有解.
設G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），
則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.
因為x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）內單調遞增，
又G（π16）=-1140，
且函數G（x）的圖象連續不斷，故可知函數G（x）在（π16，π14）內存在唯一零點x0，
即存在唯一的x0∈（π16，π14）滿足題意.
【歸納總結】 探討三角函數的性質，難點在于三角函數解析式的化簡與整理，熟練掌握三角恒等變換的有關公式，靈活運用角之間的關系對角進行變換，將解析式轉化為一角一函數的形式，然后通過換元法求解有關性質即可.根據y=Asin（ωx+φ）+k的圖象求其解析式的問題，主要從A、k、ω及φ等四個方面來考慮.
【變式訓練4】
（1）函數y=2sin（ωx+φ）在一個周期內的圖象如圖所示，則此函數的解析式可能是.
（2）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學在圖中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同學在RtACH中解得AC=11cos72°，據此可得cos72°的值所在區間為.
考點五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及簡單的三角恒等變換【考點解讀】 該考點是高考的必考點.研究不同三角函數值之間的關系時，常以角為切入點，并以此為依據進行公式的選擇，同時還要關注式子的結構特征，通過對式子進行恒等變形，使問題得到簡化.在進行三角運算時必知的幾個技巧：“1”的代換，正切化弦，異角化同角，異次化同次，變角，變名，變結構等化簡技巧.
例5已知函數f（x）=2cos（x-π112），x∈R.
（1）求f（-π16）的值；
（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.
【思路點撥】 （1）直接代入，根據誘導公式和特殊角的三角函數值得出結果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角變換公式求解.
【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）
=2cos（-π14）=2cosπ14=1；
（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）
=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，
因為cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.
【歸納總結】 三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數名稱”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向.公式的逆用，變形十分重要，常通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數.
【變式訓練5】
31cos10°-11sin170°=.
【變式訓練答案】
1.解析：（1）設α終邊上任一點為P（k，-3k）.則r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.
當k>0時，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.
10sinα+3×11cosα=-310+310=0.
篇7
變形技巧是解決數學問題的重要基礎，這種變形能力的強弱直接關系到解題能力的發展。我們對式子變形實質上是為了將式子轉化為可解決問題的某種形式，為下一步解決問題做準備。變形屬于技能性的知識，其中存在著一定的技巧和方法，需要人們在學習和解題的實踐中反復提煉才能把握其技巧，以至在解題中靈活應用。下面介紹基本不等式、三角函數變形中常用的變形技巧。
1、基本不等式的變形技巧
在高中數學中多應用基本不等式來求函數的最值、值域等，在解題過程中對已知條件給出的式子靈活變形使基本不等式出現積（或和）為定值是解決問題的突破口。常用的方法為拆、添、配湊、代換，現就常用技巧給以歸納。
（1）拆、添、配湊
在解決與不等式相關的問題中，拆、添、配湊有各自不同的方向和技巧但往往又是緊密相連的，拆、添常常為配湊做準備。拆常數：將不等式中的某個常數進行拆分成題中所需的常數。拆系數：將不等式中某些項的系數進行拆分。拆常數或系數多為配方創造條件。拆項：將不等式中的某些項進行拆分，為使用基本不等式創造條件。添倍數：不等式的左右兩邊添上倍數（注意符號），為配方創造條件。添式：在不等式的兩邊添上一個代數式，為使用基本不等式創造條件。
例1、x>3，求函數 的值域。
分析：添常數將 湊成含基本不等式結構的式子
例2、已知 ，則 ，求函數最小值。
分析：本題已知函數式為分式看似無法使用基本不等式，對函數式進行配湊變形再分離便可構造出基本不等式。
，
技巧點評：在求分式型函數的最值中常用配湊的變形技巧，可按由高次項向低次項的順序逐步配湊。通過拆、添常數，逐步配湊基本不等式并分離出一個常數，這是分式函登籩滌虺S玫姆椒āT誚馓夤程中常常需要采用“拆項、補項、配湊”等變形技巧找到定值，再利用基本不等式來求解，使得復雜問題轉化為簡單的問題。
（2）常值代換
這種方法常用于如下兩類題型
①“已知ax+by=1（a、b、x、y均為正數），求1x+1y的最小值.”
②“已知ax+by=1（a、b、x、y均為正數），求x+y的最小值”
例3、若 且滿足 ，求x+y的最小值。
分析：結合問題和已知條件進行“1”的代換 可將問題轉化為求含有基本不等式結構 ，接著可利用基本不等式求函數最值。
技巧點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式能巧妙地解決問題。利用基本不等式求函數最值時，還需注意“一正、二定、三相等”，通過變形技巧找到定值，若和定則積最大，若積定則和最小。
2、三角函數的變形技巧
高中階段三角函數與初等代數、初等幾何緊密聯系，是初等函數的重要部分。解決三角函數求最值問題常常要對三角函數式進行靈活的變形，而其變形主要有三個基本方向一是看角、二是看函數名稱、三是看結構特征。除此之外，我們還常常結合代數的變形技巧和構造法，為三角函數的變形創造一定的條件，現就常用技巧給以歸納。
角的變換
在三角函數的求值、化簡與證明題中，函數式常常出現較多的不同的角，但這些角又有一定的聯系。解題過程中分析條件與結論中角的聯系，進行三角函數變換 主要是“消除差異，化異為同”。根據角與角之間的和差、倍半、互余、互補的關系，運用角的變換能有效解決問題。
例4、已知 ，求證： 。
分析：可以考慮將條件中的角 和 配湊成求證結論中的角 ，即 ， ，再利用三角函數和差關系解決問題。
函數名稱的變換
題目中若出現不同名稱的三角函數，這就需根據同角三角函數關系式或誘導公式將異名的三角函數化為同名的三角函數，達到“消除差異，化異為同”的目的。函數名稱的變換中最常見的就是切割化弦。
例5 、已知 ，試用 表示 的值。
分析：將已知條件中“切化弦”將原式轉化為關于 的式子即 。
（3）常數的變換
在三角函數的、求值、證明中，有時需要將常數轉化為三角函數，或將三角函數轉化為常數，從而構造所需的函數式。例如常數“1”的變換有： ， 以及一些特殊角三函數值等等。
例6、求函數 的最小正周期，最大值和最小值。
分析：由所給的式子 可聯想到
（4）冪的變換
對于一些次數較高的三角函數式，一般采用降冪的方法處理，達到化簡的目的。而降冪并非絕對，有時也常需要對于無理式 用升冪處理化為有理式。
（5）公式的變形與逆用
高中教材中給出每一個三角函數公式的基本形式，但在解題的過程中往往要對基本公式變形后加以應用，有時也需逆用公式。順公式較容易，而逆用公式較困難，因此要有逆用公式的意識和思維。這要求我們既要熟悉基本公式又要對其變通形式有所了解。
三角函數式的恒等變形是學習三角函數和其他數學知識的重要基礎。三角函數式的恒等變形常應用于化簡三角函數式，求三角函數式的值，證明三角恒等式等。三角函數式恒等變形的理論依據是代數式恒等變形的一般方法和法則，與三角函數式的變形公式。變形中還需注意符號的變化，以及三角函數定義域和值域的范圍。
篇8
《義務教育數學新課程標準（2011）》（以下簡稱《新課標》）明確提出在數學教學中不僅要讓學生記住一些數學的基礎知識、掌握一些數學的基本技能，而且要讓學生感悟數學的思想，積累數學的經驗和實踐經驗，培養學生的數學素養.下面我將結合高考數學三角函數的主要題型，論述數形結合思想、函數與方程思想、等價轉換思想和分類與整合思想在解高考三角函數問題中的運用.
一、數形結合思想
所謂數形結合思想，就是通過數與形的轉化，對不易解決的數學問題借助圖形來解決.華羅庚先生說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事非。”對數形結合解題技能進行了精辟論述.通過對三角函數整體章節內容及普通高中新課程標準（實驗）的分析發現，三角函數實際上是平面圖形知識和函數知識的有效結合.因此，學生在解決高考三角函數問題時，首先要樹立數形結合思想，將三角函數看成是平面圖形和代數的結合體，利用“數”的精確性和“形”的直觀性，進行三角函數問題的有效解答.
在高考中，選擇題和填空題的特點（即只需寫出結果而無需寫出過程），為考查數形結合的數學思想提供了方便，能突出考查學生將復雜的數量關系轉化為直觀的平面圖形的問題解決意識.而高考解答題要求寫出解答過程，需要嚴謹的推理論證，對數量關系問題的研究以代數為主，因此在高考解答題中對數形結合思想的考查以“形”到“數”為主.
例1：（2012浙江理科4）把函數y=cos2x+1的圖像上所有的點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移一個單位長度，再向下平移一個單位長度，得到的圖像是（ ）
評定：本題是三角函數的圖像變換問題，首先需要回顧一下三角函數圖像變換的規律：（1）平移變換：①沿x軸平移，按“左加右減”法則；②沿軸平移，遵循“上加下減”法則.（2）伸縮變化：①沿x軸伸縮時，橫坐標x伸長（01）或縮短（0
二、函數與方程思想
函數的思想是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質分析問題、轉化問題，從而使問題得以解決；方程思想是分析數學問題中的變量間的等量關系，從而建立方程或方程組或者構造方程，通過解方程和方程組，或者運用方程的性質分析問題、轉化問題，使題得以解決.在高考試卷中，三角函數中的最值問題有時候可轉化為函數問題解決.
三、等價轉換思想
通過某種變化和手段，變換問題的角度，使較難的三角問題變得容易解決；在解決數學問題時，要采用等價轉換思想，將復雜問題轉化為簡單問題，將難解問題轉化為容易求解的問題，將未解決問題轉化為已解決問題.三角函數涉及的公式多、變化多，運用等價轉換思想可以把復雜的含三角函數的式子轉化為簡單的式子.
點評：等價轉換思想是最重要的數學思想之一，本題就是利用等價轉換思想，結合正切函數的兩角和公式，將未解決問題（tan（α+β）的值）轉換為已解決問題（tanα+tanβ，tanα·β的值）.
四、分類與整合思想
解題時，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統一的方法、統一的式子繼續進行了，因為這時被研究的問題包含多種情況，這就必須在條件所給出的總區域內，正確劃分若干個子區域，然后分別在各個子區域內進行解題，當分類解決完這個問題后，還必須進行綜合歸納，因為我們研究的畢竟是這個問題的整體，這就是分類與整合的思想.有分有合，先分后合，不僅是用分類與整合的思想解決問題的主要過程，而且是這種思想方法的本質屬性.近幾年，高考題對分類與整合的思想考查主要有：（1）有沒有分類意識，遇到該分類的問題，是否想到分類；（2）如何分類，分類的標準是否統一，分類有沒有不重不漏；（3）分類之后如何解題，各類的討論有沒有越級；（4）分類討論后，有沒有整合，以及如何整合.
近年來高考數學對數學思想方法的要求越來越高，這對高中數學三角函數的教學提出了新的要求.為使學生靈活運用數學思想方法解高考三角函數問題，教師應該在教學中注意以下幾點：（1）利用三角函數是平面圖形與函數的有效結合體，培養學生的數形結合思想；（2）利用三角函數是特殊的函數，培養學生用函數與方程的思想；（3）利用三角函數公式多、變換多的特性，培養學生等價轉換的思想；（4）利用三角函數的豐富性，培養學生分類與整合的思想.對于一些復雜的三角函數問題，有時需要綜合運用多種數學思想方法才能解決.數學思想方法是解決一切數學問題的通法，數學教育的價值體現于數學的基本思想，數學文化的核心體現于數學的基本思想，學生一旦熟練地掌握了各種數學思想方法，就能以更廣的視角審視、理解和解答數學問題.
參考文獻：
[1]倪雪華.從歷年高考題談三角函數的關注點[J].南通高等師范學校，2011.
[2]王冬巖.高中生對三角函數概念的理解[J].華東師范大學，2010.
[3]婁艷芳.從三角函數的歷史發展看高中生三角函數的學習[J].數學教育研究，2011（5）.
篇9
考點1．三角函數的求值與化簡
例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0
(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.
解：（Ⅰ）由cosα=17,0
tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347
（Ⅱ）由0
又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314
由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)
=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.
突破方法技巧：三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構．即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心！已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函數名稱之間的關系，通常“切化弦”；第三觀察代數式的結構特點．
考點2．解三角形：此類題目考查正弦定理，余弦定理，兩角和差的正余弦公式，同角三角函數間的關系式和誘導公式等基本知識，以考查基本的運算為主要特征.解此類題目要注意綜合應用上述知識.
例2 設函數f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）記ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．
解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1
=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域為［0,2］
（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0
突破方法技巧：
(1)內角和定理：三角形內角和為π，這是三角形中三角函數問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值均為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.
(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.
(4)面積公式：S=12aha=12absinC.
特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意A+B+C=π這個特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現邊角互化．
考點3．求三角函數的定義域、值域或最值：此類題目主要有以下幾種題型：（1）考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函數式，以及利用三角函數的有界性來求值域的能力.（2）考查利用三角函數的性質, 誘導公式、同角三角函數的關系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.（3）考查利用三角函數的有界性來求最大值與最小值的能力.
例3 已知函數f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．
（1）當m=0時，求f(x)在區間［π8,3π4］上的取值范圍；（2）當tanα=2時，f(α)=35，求m的值．
解：（1）當m=0時，f(x)=sin2x+sinxcosx
=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12
又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，
從而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.
（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x
=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12
由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，
cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．
突破方法技巧：
三角函數的最值主要有以下幾種類型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，換元去處理；③形如y= asinx+bsin2x的，轉化為二次函數去處理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函數的有界性去解決，也可轉化為斜率去通過數形結合解決．
考點4．三角函數的圖象和性質：此類題目要求同學們在熟練掌握三角函數圖象的基礎上對三角函數的性質靈活運用.會用數形結合的思想來解題.
例4 已知函數f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函數f(x)的最小正周期及在區間［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．
解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期為π
f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上單調遞增，在［π6，π2］上單調遞減，
又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值為2，最小值為-1.
（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，
由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］從而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45
cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310
突破方法技巧：
研究復雜三角函數的性質，一般是將這個復雜的三角函數化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，這是解決所有三角函數問題的基本思路.
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一、基礎知識的復習，注意轉換
由于數學知識的邏輯性強，缺乏趣味性，加之學生的注意力集中時間較短，如果單元復習知識按照課文的先后順序把所學過的知識（概念、法則、共識、定力、公理）原本地復述一遍，就會導致學生乏味，缺乏聯系，不便記憶，難以理解.針對這個問題，可以采取如下方法：首先列出文章的主要知識，然后適當歸類排隊，給出知識聯系的框架結構，再用數學編碼.如以下三角函數知識要點的梳理：三角函數基本概念，三角函數的恒等變形（化簡，求值，等式的證明），三角函數的圖像和性質，三角變換基本解題方法：切割化弦，異名化同名，異角化同角，高次化低次，無理化有理.常用的技巧：升冪降冪法、輔助元素法，“1”的代換法、利用倍角公式建立2α與α、α與的關系、角的配湊等.對三角函數性質的考查總是與三角變換相結合，一般解題規律是先對三角函數關系式進行三角變換，使之轉化為一個角的三角函數的形式，再利用換元法轉化為對基本三角函數性質的研究.易錯點：要注意正切函數定義域的限制；在三角變形過程中要注意自變量取值范圍的變化，以防出現增根或失根；遇到參數或字母時，應注意分情況進行討論.然后，由主干知識點、基本方法回顧練習.
二、例題講解，應重視變化
是減函數的實際意義：隨著產量的增加，每艘船的利潤在減少.
2.在對例題進行解答之后，應注意例題的以點帶面功能，有意識地在例題的基礎之上進一步引申擴展，挖掘問題的內涵和外延，指導學生對新問題的探討，以激發思維，啟迪智慧，開闊視野，讓學生通過對同一題目條件改變的比較，達到分析問題能力的升華，同時也可以培養學生對知識的遷移能力.把文字語言翻譯成數學符號語言，然后運算.例如有關數列的問題.首先判斷是等差數列還是等比數列，確定首項、公差（比）、項數是什么，能分清，然后選用適當方法求解.最后的程序是還原，即把數學問題的解客觀化，針對實際問題的約束條件合理修正，使其成為實際問題的解.
例如，在一直線上共插有13面小旗，相鄰兩面之距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是什么？
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三角函數問題在我們實際生活中不是很常見，有些脫離我們的實際生活，但是它靈活多變，同學們感到難以應對。近些年來，高考命題組越來越多地考查三角函數的抽象性、恒等變換，而這些考點都是我們不擅長的，也就導致了三角函數學習出現了很多問題。同學們在學習三角函數問題的過程中不應有心理障礙，只要掌握一些基本的方法和策略，這樣許多問題都會迎刃而解。新課程標準下，三角函數作為基本初等函數在高中數學中占有十分重要的地位，是高考考查的重點內容之一，也是高考的熱點之一，在高考中，客觀題和主觀題均有所體現，并且以中低檔題目的考查為主，對同學們來說是很重要的得分點。
一、主要的學習問題
實行新課標以來，三角函數的知識體系變化比較明顯，我們高中生要采用和初中不同的學習策略才能有效地應對這一變化。在初中時期，我們接觸到的函數全部是一對一型的函數，而三角函數是我們上高中以來第一次接觸到的一對多型函數，它具有明顯的周期性，它代表著一類函數。三角函數與其他函數知識緊密相關，學好三角函數對其他知識的學習有著巨大的指導意義。
總體來說三角函數的難度還是不大的，它滲透著數形結合的思想，掌握了這一本質特征，學好三角函數還是比較容易的。但是我們高中生學習三角函數的過程當中還是存在很多問題的。好多同學反映三角函數并非書中所述的那樣簡單，甚至陷入了學習三角函數的困境。因為三角函數是我高中數學的起始環節，這種困境長期持續下去，會造成更為深層次的影響，會影響我們的學習動機和對數學的學習態度。
（一）概念模糊
任何一個知識點的學習幾乎都是從概念開始的，可是很多同學并沒有理解三角函數的定義。直角三角形問題是三角函數問題的一部分，我們初中的時候就能輕松掌握。可是到了高中我們依然運用初中的知識去解答此類問題，雖然得到了正確的答案，但是與學習的初衷相背離。這也就間接地導致了我們對三角函數的概念的理解出現嚴重的偏差，甚至有些含糊不清。
（二）用錯公式
公式眾多，緊密聯系是三角函數最大的特點。三角函數知識中涉及的公式數量非常大，包括弧度數的絕對值公式，弧長公式，扇形面積公式，誘導公式，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，需要掌握的總共 22 個。三角函數的公式不僅數量多，而且變換靈活，例如誘導公式中角的奇偶性變化、正負取值，兩角和與差公式中角的組合變化等，角發生變化取值就相應改變，三角函數的公式就應用了多種方式展現出來，這就讓同學們尋不到規律，不知道該用什么公式解題。
（三）數學思想理解不到位
簡單的三角函數蘊含著多重的數學思想，如數形結合思想、等價轉化思想、函數與方程思想等。同學們經常大量的做題，而不去總結，許多數學思想根本體會不到。題做得再多，數學思想沒有學到，遇到相似的問題還是無從下手。三角函數知識體系較為抽象，各個函數間密切聯系、變換靈活，我們必須掌握公式的本質特征、課下勤加練習才能靈活運用。
三、簡單的應對措施
（一）摒棄形式化
我們來到高中對知識的理解經常以自己經驗加以判斷，缺乏理性思考，我們的水平不高，對抽象的三角函數只是記住了形式，造成了生搬硬套、死記硬背的尷尬局面。我們應將公式和圖像相結合的學習，注重數學結合的思想。學會單位圓的應用，運用它掌握三角函數的定義；例如，正弦函數的學習，我們學會借助圖像巧妙的掌握，能畫出 y = sinx的圖象，通過圖像觀察其周期性；借助圖象理解正弦函數在[0，2π]的性質等，如單調性、奇偶性等
（二）形成有效的學習方法
我們學習數學效率低，速度慢大部分原因是方法不恰當，三角函數的學習也是一樣的，我們很多高中生對待三角函數不夠重視，更別提方法了。三角函數各個知識點聯系非常密切，可是大多數同學只是孤立的學習，不懂得把知識點串聯起來，這就無法形成體系，只是混亂，不能融會貫通。所以，學習過程中，我們要懂得將知識作對比，善于復習，找到學習三角函數的有效途徑。
（三）訓練基本的數學技能
解決好三角函數的問題，化簡很重要。它是做題的第一步，而且是最為關鍵的一步。許多同學做不出三角函數的題目，就在化簡的過程中出現了錯誤，所以同學們要在課下訓練化簡、運算等基本技能。
三、結語
總而言之，發現自己學習三角函數的問題，結合自身的特點，制定相應的學習策略，靈活應對，學好三角函數還是較容易的。
[參考文獻]
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二、口訣解釋法
在講解三角函數誘導公式的時候，九組三十六個誘導公式單獨的記憶就有一定的難度.那么我們歸納分析后可以看出，凡是誘導公式中括號里前面的定角（如π，2π或π[]2，3π[]2之類的角）所落在坐標軸的位置不同，等號后面的三角函數與等號前面的三角函數的名稱有的相同，如sin（π+A）=-sinA，有的不同，如tan3π[]2-A=cotA.那么有何規律呢？而等號后面的正負符號也不盡相同.這又有何規律呢？通過觀察、歸納，我們可以簡單的用兩句話、十個字來佐以記憶.這就是“縱變橫不變，正負看象限”.那么，這十個字、兩句話怎么理解就顯得尤為重要了.首先，什么叫縱，什么叫橫？就是定角所落在坐標軸的位置，如果定角落在坐標軸的橫軸上，就叫做橫，如π或者2π的終邊就落在了橫軸上了，所以就叫做橫了.同理可知縱.那什么叫變和不變呢？就是等號左右的三角函數名稱變和不變.“縱變橫不變”就是指的是如果定角的終邊落在了坐標軸的橫軸上了，那等號兩邊的三角函數的名稱就不變，如果定角的終邊落在了坐標軸的縱軸上了，那等號兩邊的三角函數的名稱就改變.那變和不變，怎么變，怎么不變呢？變就是等號左邊的要是正弦函數，那等號右邊就是余弦函數，等號左邊是正切函數，那等號右邊就是余切函數了.這就是縱變橫不變的解釋理解.所以我們先要觀察定角終邊落在坐標軸的什么軸上，然后根據口訣就知道等號左右的三角函數名稱是否改變了.其次是“正負看象限”.正負指的是等號右邊三角函數前面的正負符號.看象限是看誰的象限呢？是要看定角和任意角A之和所在的象限.這里A雖然是任意角，但我們仍然要把這個任意角A看成是一個銳角.這里特別要強調的是“看成”.任意角就是任意角，無論是什么角，我們況且都可以把它先看成是銳角.這樣，一個定角和一個銳角所在的象限就確定了.那么這個角和等號左邊的三角函數所在的象限的三角函數符號就能確定了.所以等號右邊的正負符號就由此來確定了.那么這樣，等號左邊的三角函數和括號里的定角與任意角的和或者差的誘導公式就可以由前面的“縱變橫不變，正負看象限”得到等號右邊的一個任意角的三角函數值了.這樣，我們只要能記住理解這兩句話.十個字就可以把三十六個誘導公式熟練的記住了.比如我們要求：cot（π-A）=？首先我們來確定定角π的終邊所落的坐標軸是在橫軸上了，由“縱變橫不變，正負看象限”，那么我們就可以判定等號右邊的三角函數的名稱沒變，即左邊是余切函數cot（π-A），那右邊也一定是余切函數cotA.再者我們來判斷等號右邊的正負符號，我們看定角和任意角A之差是在第二象限，第二象限內余切函數是負值，所以等號右邊就應該是負號了，即cot（π-A）=-cotA.
三、定位記憶法
定位法就是先將我們要熟記的公式模式定位.比如，我們要熟記和差化積的公式.如：
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解決三角函數的問題，角的轉化是常見類型，雖然常見，但卻包羅萬象，有倍角、半角、和角、差角、湊角、余角、補角等等，通過角的變換這一紐帶，轉變函數的運算符號和名稱，或是次數，促使問題簡單化、“已知化”，通過轉化順利求解原問題.在解決具體問題時，應注重拆和拼的技巧.如α=（α+β）-β=β-（β-α）=α+β2-β-α2.
例1已知3sinβ=sin（2α+β），求證tan（α+β）=2tanα.
評析我們可以將角進行轉換：β=α+β-α；2α+β=α+β+α.從3sinβ=sin（2α+β）這一已知式出發，得到3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），再由此出發進一步推導就可以得證.
2.“名稱”變換
在學習中經常會遇到名稱不同的三角函數，為此“名稱”變換是三角函數問題中最常見的類型.首先應將其轉換成同名的三角函數，“切割化弦”、“齊次弦化切”是我們高中數學最為常見的函數名稱轉化策略，突破口在于“化函數”或者是“化形式”，從三角函數常見性來看，“正弦”和“余弦”的應用最廣，是三角函數的基石，“正切”也很常見.
例2（江蘇卷?2010年）銳角三角形ABC中，三個頂角A，B，C對邊分別為a，b，c，若已知ba+ab=6cosc，則tanCtanA+tanCtanB=.
評析三角函數與解三角形相結合.從要求的式子著手，將切化弦，變形成sin2CsinAsinBcosC，將原式用正弦定理轉化為sinAsinBcosc=16（sin2B+sin2A）代入化為6sin2Csin2B+sin2A，再將原式用余弦定理化為a2+b2=32c2即可求得答案.此題作為2010年江蘇高考填空13題相對要求較高，但是都屬于三角及解三角形的常規題型的結合.
例3（全國卷?2013）設θ為第二象限角，若tan（θ+π4）=12，則sinθ+cosθ=.
評析本題可先通過計算tanθ然后借助角的范圍確定sinθ與cosθ.
3.“形”變換
從具體的三角函數問題來看，運算過程中需要將代數式中的常數進行變換，最常見就是轉化常數“1”.
例4（遼寧高考文科?2009）已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）.
A.34 B.54 C.-34 D. -54
評析從已知條件分析可以看出這一考題需要進行“名稱變化”（弦化切）和“形變換”（將分母“1”化為sin2θ+cos2θ）.
例5已知tanθ=2，求值：
（1）sinθ-cosθsinθ+cosθ； （2）sin2θ-cos2θ.
常規思想：利用同角三角函數的關系，求出sinθ，cosθ，但是由于θ在一、三象限，所以還要分類討論，比較麻煩.
簡便思想：（1）分子分母同除以cosθ，轉化為tanθ-1tanθ+1；
（2）“1”的代換，最終轉化為tan2θ-1tan2θ+1.
二、高中數學復習建議
高中數學復習尤其是高三時間緊、任務重，沒有科學的復習方法，難以幫助學生形成有效的聯結，透過上述三角函數變化問題，筆者認為高三復習應注重以下幾點：
1.科學制定計劃，確保復習思路清晰化
既然時間緊，那么我們的復習思路必須清晰，確保走好每一步，應將一類問題放到一塊，提高專題訓練選題的科學性，站在學生的視角，通過問題的呈現形式差異將知識點、方法囊括進來，將復習課上成是引導學生自主應用規律和方法解決實際問題的探究課，通過具有聯系問題的解決，實現方法和技能的沉淀.例如上文中三角函數變化的方法，通過具體的例題進行訓練.
2.注重講評策略，形成有效的知識網絡
（1）重基礎、勤應用.我們學生之所以在解題時出現障礙，其根本原因在于基礎不牢.學習有一個從認識到理解再到應用的過程，對于復習而言，首先就應該引導學生順利完成基礎知識、基本方法的復認.如何復認和回憶呢？筆者在高三復習教學中通常是設置具體的問題情境（例題），學生分析例題、解題的過程是應用知識的過程，實現知識、方法的復認與應用同時施展.
